湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷 含解析

这是一份湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷 含解析，共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 设 ，则 的大小关系为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试题
命题学校：宜昌一中 命题人：李智伟 王健
审题学校：襄阳四中 审题单位：圆创教育研究中心
考试时间：2025 年 4 月 23 日 考试用时：120 分钟 试卷满分：150 分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设 是可导函数，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的定义来求解即可.
【详解】由 可得： ，
因为 ，所以 ，
故选： A．
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2. 各项为正的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 4 B. 9 C. 4 或 D. 2 或
【答案】A
【解析】
【分析】设等比数列的公比为 ，根据题意可得出关于 的方程组，解出 的值，即可得出
的值.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 ，
则 ，解得 或 （舍去），
故 .
故选：A
3. 展开式中含 的项是
A. 第 8 项 B. 第 9 项 C. 第 10 项 D. 第 11 项
【答案】B
【解析】
【分析】
化简二项式展开式的通项公式，由此求得含 的项是第几项.
【详解】二项式展开式的通项公式为 ，令
，解得 ，故含 的项是第 项.故选 B.
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.
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4. 由 组成没有重复数字的 5 位数，其中大于 21300 的正整数个数为（ ）
A. 81 B. 87 C. 96 D. 105
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论，然后结合排列数代入计算，即可得到结果.
【详解】当首位是 其中一个时，剩下位上的数任意排列，
此时有 种情况；
当首位是 时，第二位数是 其中一个时，剩下位上的数任意排列，
此时有 种情况；
当首位是 时，第二位数是 时，第三位数是 其中一个时，剩下位上的数任意排列，
此时有 种情况；
所以一共有 种情况.
故选：C
5. 如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且 A1A=3，
则 A1C 的长为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：点 A1 在底面的投影 O 在底面正方形对角线 AC 上，过 A1 作 A1E⊥AB 于 E，求出 AE，
连结 OE，则 OE⊥AB，∠EAO=45°，在 Rt△AEO，求出 OC，然后求解 A1O，即可求解 A1C．
解：由已知可得点 A1 在底面的投影 O 在底面正方形对角线 AC 上，
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过 A1 作 A1E⊥AB 于 E，
在 Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°
∴ ，连结 OE，则 OE⊥AB，∠EAO=45°，
在 Rt△AEO 中， ，
，∴ ，
在
故选 A．
考点：空间两点间的距离公式．
6. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性可得 ，构造函数 ，利用导数可得
时，函数 单调递减，进而有 可得 ，即得.
【详解】因 ，故 ，故 ，
设 ，则 ，
令 得 ，故当 时， ，
即函数 在区间 上单调递减，
因 ，故 ，
得 ，即 ，故 ，
故选：D
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7. 已知点 在抛物线 上，过焦点 且斜率为 的直线与 相交于 ， 两点，过 ，
两点作准线的垂线，垂足点分别为 ， 两点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 点坐标求得抛物线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得 ， 两点的坐标，由此
计算出三角形 的面积.
【详解】将 点坐标代入抛物线方程得 ， ，故抛物线方程为 ，
故焦点坐标为 ，准线方程为 .过焦点且斜率为 的直线方程为 ，
代入抛物线方程并化简得 ，解得 或 .
故 .
故选：C.
8. 已知定义在 上的奇函数 ，其导函数为 ，当 时，恒有 .则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用构造偶函数 ，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式.
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【详解】根据题意可构造函数 ，
则 ，
由题可知 ，所以 在区间 上为增函数，
又由于 为奇函数， 为奇函数，所以 为偶函数，
又 ，即 ，
又 为开口向上的偶函数，所以 ，解得 或 .
故选：B.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 由甲地到乙地有 3 条不同的道路，由乙地到丙地有 2 条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共有 6 种不
同的道路选择方式
B. 在 3 张奖券中仅有 1 张能中奖，3 人依次抽取一张，则排在第 2 的人抽奖中奖概率为
C. 某地预测明天下雨的概率为 ，连续两天下雨的概率为 ，则在明天下雨的条件下后天也下雨的
概率为
D. 同时投掷质地均匀的 2 枚骰子，点数和有 共 11 种可能，则掷出点数和为 7 的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用分步计数原理，古典概型，条件概型来进行计算即可得到判断.
【详解】对于 A. 由甲地到乙地有 3 条不同的道路，由乙地到丙地有 2 条不同的道路，则由甲地经乙地到丙
地共分步有 种不同的道路选择方式，故 A 正确；
对于 B. 在 3 张奖券中仅有 1 张能中奖，3 人依次抽取一张，则排在第 2 的人抽奖中奖概率为
，故 B 错误；
对于 C. 某地预测明天下雨的概率为 ，连续两天下雨的概率为 ，则在明天下雨的条件下后天也下
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雨的概率为 ，故 C 正确；
对于 D. 同时投掷质地均匀的 2 枚骰子，点数和有 共 11 种可能，这 11 种可能不是等可能事件，应该
用每个骰子有 6 个点数，两个骰子共有 36 个点数，所以掷出点数和为 7 的概率为 ，故 D 错误；
故选：AC.
10. 历史上，许多数学家研究过圆锥 截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为 ，现有一截面与
圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点 距离圆锥顶点 长度为 1，则以下关于该截口曲线描述正确的命
题有（ ）
A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B. 点 为该曲线的一个焦点
C. 该曲线上任意两点之间的最大距离为
D. 该曲线的离心率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用圆锥结合解直角三角形，可得椭圆的相关参数，通过椭圆方程来研究焦距和离心率，从而判
断各选项.
【详解】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为 .
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平面 交椭圆曲线的另一交点为 ，由对称性知 为该椭圆的长轴端点.
在直角三角形 中，由 ，
则有 ， ，
， ，
所以 点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是 ，故 A 正确；
该曲线上任意两点之间的最大距离是 ，故 C 正确；
再过 作平面 垂直于旋转轴 ，则可得该截面圆的半径 ，
在这个圆面 内作 垂直于平面 ，交椭圆于点 ，则 ，
如图 2，在截面上取 中点 为坐标原点， 方向为 轴正向，建立平面直角坐标系，
则 ，过 作 垂直于 轴，交椭圆于点 ，则 ，
设椭圆方程为 ，将 代入得： ，
最后可得 ，
由于 ，所以 不是椭圆的焦点，故 B 错误；
即椭圆离心率为 ，故 D 正确；
故选：ACD.
11. 已知三次函数 在区间 上的值域也为 ，那么下列说法正确的是（ ）
A. 且
B. 当 时，满足要求的 不存在
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C. 当 时，有
D. 当 时，有
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 ，分 ， ， 进行分类讨论，逐项求解判断即可.
【详解】对于 A，由已知 ，当 时， ，且 ，则 在 上为减函数，
此时 ，矛盾，故 且 ，故 A 正确；
对于 B，由 知， 的极值点分别为
当 时，则 ，如图 1， 在 上为减函数，则 ，矛盾，故 B 正确；
对于 C，当 时，如图 2，由 （仅 时成立， 时，应 ），
得 ，但 ，矛盾，故 C 错误；
对于 D，当 时，如图 3， 在 上减，在 上增，所以 ，
有 ，解得 ，符合条件，故 D 正确
故选：ABD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 向量 ， ，则 在 方向上的投影向量为________．（坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的求解公式即可求解.
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【详解】 在 方向上的投影向量为 ，
故答案为：
13. 已知反比例函数 的图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用等轴双曲线的离心率为 ，结合实轴长可算出焦距.
【详解】由反比例函数曲线是等轴双曲线，可知其离心率为 ，
再由函数 与焦点所在的直线 的交点坐标为 ，
这两点间 距离为实轴长，即 ，所以 ，
再由 ，
故双曲线的焦距长为 ，
故答案为： .
14. 已知递增数列 的各项均是正整数，且满足 ，则 __________， __________.
【答案】 ①. 2 ②. 37
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得 ，然后结合数列的增减性以及 的各项均是正整数，逐一代入计
算，即可得到结果.
【详解】由已知 ，若 ，将有 ，矛盾；
若 ，则 ，与 单调性矛盾；故 .
由 ，有 ，所以 ；
又 ，则 ，所以 ，
故 ，
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则由 ，即 ，知 ，故 .
故答案为： ；
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（2）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最
小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导数可得切线斜率，利用点斜式可得答案；
（2）先求出三角形的面积表达式，利用导数可求最小值.
【小问 1 详解】
因为 ，所以
设切点坐标为 ，则 ，即 ，
所以切点坐标为 ，
可得切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
由 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
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由 得 ，由 得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故最小值为 .
16. 已知等差数列 中 ，前 10 项和 .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若从数列 中依次取出第 项，按原来的顺序排列成一个新的数列 ，若
，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）列出关于 的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）由错位相减法以及分组求和法代入计算，即可得到结果.
【小问 1 详解】
由题意得 ，解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
，
则 ，
设 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
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则 ，
所以 .
17. 如图，四棱锥 中，平面 底面 ，且 在底面正投影点在线段 上，
， .
（1）证明： ；
（2）若 ， 与 所成角的余弦值为 ，求钝二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）如图，连接 交 于点 ，则可证得 平面 , 再由线面垂直的性质可得结论；
（2）作 于点 ，则 底面 , ,以 为坐标原点， 的方向分别
为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，分别求平面 和平面 的法向量，用
向量求解即可.
【小问 1 详解】
如图，连接 交 于点 .
因为 ,即 为等腰三角形，又 平分 ，
所以 ,
因为平面 底面 ， 平面 底面 ， 底面 ，
所以 平面 , 因为 平面 ,
所以 .
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【小问 2 详解】
作 于点 ，则 底面 , ,
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 .
，而 ,得 ,
又 ，
故 .
设 ，则由 ，得 ，
而 ，
因为 与 所成角的余弦值为 ，
所以 ，得 ，则 ,
所以 ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
由 得 可取 ，
由 得 ，可取 ，
从而法向量 的夹角的余弦值为 .
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由图可知二面角 是钝角，故二面角 的余弦值为 .
18. 已知
（1）（i）证明：当 时， ；
（ii）当 时，试确定 的符号.
（2）若 ，试说明 在 内有唯一零点.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） ，答案见解析
（2）说明见解析
【解析】
【分析】（1）（i）即证明 ，构造 ，求导得到其单调性，结合 ，得
到证明；
（ii）即说明 ， ，结合（i）可知， ，其等价于
时， ，即 ，由 知，该式显然成立，
故 ；
（2）当 时， 单调递减，结合特殊点函数值得到存在唯一实数 ，使得
；当 时， ，二次求导，结合单调性和零点存在性定理得到 的
单调性，故 在 上恒成立，综上可知： 在 内有唯一零点
【小问 1 详解】
（i）当 时， 等价于 ，
设 ，即证明 ，
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记 ，则 ，
所以 在 上单调递减，其中 ，
所以 ，不等式得证；
（ii） 时， ，理由如下：
要说明 ，即说明 ， ，
由（i）可知，当 时， ，所以 ，
故只需说明 ，其等价于 ，
时，上式只需 ，
即 ，由 知，该式显然成立，
从而 对 恒成立，
【小问 2 详解】
由已知 ，
当 时，易知 单调递减，
，
故存在唯一实数 ，使得 ；
当 时， ，
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记 ，
易知 在 为减函数，
，
故存在唯一实数 ，使得 ，即 ，
则 在 为增函数，在 为减函数，
且 ，
，
则存在唯一实数 ，使得 ，
则 在 为正， 在 为负，
在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ， ，故 在 上恒成立，
综上可知： 在 内有唯一零点 .
19. “相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时
有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是
从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点
运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点.
（1）在平面直角坐标系 中，圆 上有动点 ，已知定点 为 .在研究
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“ 最大值”问题时，
（i）如果借助两直线的夹角公式 （其中 为已知两直线的斜率， 为两直线
的夹角， ），试求出用 点横坐标 表示 的函数 ，并求出其最大值及取得最大值
时 点的坐标；
（ii）如果运用“相对运动”的观点，视 点位置不变， 点为动点，试分析 何时取得最大值，并
给出其最大值；
（2）在平面直角坐标系 中，有一动椭圆 始终保持与 轴正半轴、 轴正半轴相切，已知椭圆 的长
轴长为 4，短轴长为 2，试求出该椭圆中心点 的轨迹方程.
【答案】（1）（i） ，最大值 ， ；
（ii）当 所在直线与该圆相切时， 最大，
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）利用两直线夹角公式表示 ，化简换元利用二次函数性质求最大值.
（ii）用相对运动观点分析几何条件，找到当 所在直线与该圆相切时， 最大，即可得解.
（2）将椭圆放在新坐标系中，写出椭圆方程，利用椭圆与坐标轴相切得 ，进而得到原坐标轴所在两
直线斜率的关系，进而得到椭圆中心点 的轨迹方程.
【小问 1 详解】
（i）如图 1，由
可知 ，
所以
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又 且 ，
则 ，
设 ，
则 ，
故当且仅当 即 时， 有最大值 ，此时 点为 ；
（ii）如图 2，视 点固定， 点为动点时，可等同于原坐标轴绕 旋转，
故点 在半径为 1 的圆上运动，
当 所在直线与该圆相切时， 最大，此时 ，
即 ，与（i）中结果一致.
【小问 2 详解】
如图 3，用“相对运动”的思想，可以视 是定点，且为新的坐标原点 ，
让椭圆长轴落在新 轴，短轴落在新 轴，易知椭圆方程为 ，
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此时 点（原坐标原点）为与该椭圆相切的两条相互垂直切线 的交点，
设 为 ，当 斜率均存在时，设两斜率为 ，
故 的方程为 ，
与 联立消 有： ，
其 ，
化简有： ，
上式整理为关于 的二次三项式： ，
同理 ，
故 为关于 的方程 的两不等实根，
于是 ，则 ；
当 分别平行坐标轴时，易知 可取 ，也满足 .
综上可知，在新坐标系下， 点始终与 点距离为定值 ，
还原至原坐标系，点 也始终距离点 为定值 ，
但由于点 始终在第一象限，
则点 所在轨迹方程为 ，表示一段椭圆弧.
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