湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2023−2024学年高一下学期期中联考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2023−2024学年高一下学期期中联考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在南偏东，行驶x小时后，船到达C处，看到这个灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为锐角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则
D．若，，，则有两解
11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A．函数，为“不动点”函数
B．函数恰好有两个不动点
C．若函数恰好有两个不动点，则正数的取值范围是
D．若定义在R上仅有一个不动点的函数满足，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知正六边形ABCDEF的边长为2，则 .
13．已知复数，为虚数单位，则的最小值为 .
14．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
16．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
(1)求函数的解析式及在上的单调递增区间；
(2)在中，为的一个内角，若满足，，求周长的最大值.
17．已知，，分别为三个内角A，，的对边，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
18．已知函数.
(1)设，若为偶函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
19．在锐角中，点为的外心，.
(1)当时，若，求的最大值；
(2)当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以.
故选：C.
2．【答案】A
【详解】因为是上的单调递增函数，故时，，
故，
是R上的减函数，故时，，
即，
故，
故选：A
3．【答案】D
【详解】对于A选项，因为，所以与不共线，故A错误；
对于B选项，因为，，所以，故B错误；
对于C选项，因为，，所以，所以与不垂直，故C错误；
对于D选项，因为，，所以，，所以，故D正确；
故选：D.
4．【答案】B
【详解】,
所以.
故选：B.
5．【答案】C
【详解】由题意知，在中，，，
，又，
根据正弦定理得 ，故
故选：

6．【答案】C
【详解】因为当时，恒有，
所以当时，恒有，
不妨设，则，即，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
7．【答案】D
【详解】
因为，故为的中点，而为外心，
故为直角三角形，且，
因为，所以，
而向量在向量上的投影向量为
.
故选：D.
8．【答案】B
【详解】由，得，
设，则，解得，
因为，，，
所以，解得或，
又因为，
所以，整理得，解得，
当且仅当时，等号成立.
因此，即，
所以的取值范围是.
故选：B.
9．【答案】ABC
【详解】
对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选ABC.
【易错警示】对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基．
10．【答案】AC
【详解】对于A选项，在中，，
则，
所以，
因为三角形中最多只有一个钝角，所以，即三个角都为锐角，故A正确；
对于B选项，因为，所以，所以为锐角，但无法判断角和角，故B错误；
对于C选项，在中，由及正弦定理，得，根据三角形大边对大角的性质知，故C正确；
对于D选项，由正弦定理得，
又由得，因此有一解，故D错误．
故选：AC.
11．【答案】ACD
【详解】对于，令，，解得或舍，
则函数，为“不动点”函数，故A正确；
对于B，当时，令，解得舍或；
当时，，令，解得，不满足；
当时，，此时方程无解；
综上可得，函数只有一个不动点，故B错误；
对于C，函数的定义域为，
若函数恰好有两个不动点，
则方程在上恰好有两个不等实根，
即在上恰好有两个不等实根，
当且时，，而，
则方程在上无实根，
在同一坐标系中作出函数和的图象，
结合图象可知，当即时，
函数与函数的图象只有一个交点，不满足题意；
考虑的情况，在上，，
则转化为方程在上恰好有两个不等实根，
由可得，
即，
则有，解得，故C正确；
对于D，由题可知，仅有一个实数，使得，
因为函数满足，则有，
令，可得，即，可得，解得或，
当时，，此时方程有两个根，，不满足题意；
当时，，此时方程只有一个根，满足题意；
则，故D正确．
故选：ACD.
12．【答案】
【详解】如图：
根据正六边形的结构特征，可知，
而与的夹角为，，
则
故答案为：
13．【答案】4
【详解】解:复数z满足，为虚数单位， 复数z表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.
的几何意义是圆上的点与的距离，
所以其最小值为： .
故答案为：4.
14．【答案】2025
【详解】设，
当时，，
当时，显然，
所以关于中心对称，
设，则的周期为，
且，
所以关于中心对称，
在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象与函数的图象，如图所示：

观察图象可知两函数的一个交点的横坐标为，
除此以外，这两函数图象如下区间：内，各有两个交点，
且注意到这些区间均关于对称，
故所求为.
故答案为：2025.
15．【答案】（1）1（2）18
【详解】（1）原式.
（2），，
展开，，
又.
16．【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）由题意知周期，则，且，所以，
故；
由，，整理，，
所以函数的单调递增区间为：，；
，则当时，有；当时，有；
单调递增区间为：，.
（2），.
，，
，.
方法1：设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理，
又，有，即，
整理，，，，，当且仅当时取等号.
故周长的最大值为.
方法2：设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由正弦定理，
有，，，
，
，
，，
，故，
所以，当且仅当时取等号.
故周长的最大值为.
17．【答案】(1);
(2)，或，
【详解】（1）因为，所以，
即，
即，
由正弦定理得，
又，
所以，，，
所以，
所以，，
所以，所以；
（2）因为，
，又，即，
，
联立解得或．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为f(x)=sin(2x+φ)(0