湖北省荆荆襄宜四地七校考试联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
命题学校：宜昌一中 命题人：李智伟 王健
审题学校：襄阳四中 审题单位：圆创教育研究中心
考试时间：2025 年 4 月 23 日 考试用时：120 分钟 试卷满分：150 分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设 是可导函数，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
2. 各项为正的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 4 B. 9 C. 4 或 D. 2 或
3. 展开式中含 的项是
A 第 8 项 B. 第 9 项 C. 第 10 项 D. 第 11 项
4. 由 组成没有重复数字的 5 位数，其中大于 21300 的正整数个数为（ ）
A. 81 B. 87 C. 96 D. 105
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5. 如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且 A1A=3，
则 A1C 的长为
A. B. C. D.
6. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知点 在抛物线 上，过焦点 且斜率为 直线与 相交于 ， 两点，过 ，
两点作准线的垂线，垂足点分别为 ， 两点，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的奇函数 ，其导函数为 ，当 时，恒有 .则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 由甲地到乙地有 3 条不同的道路，由乙地到丙地有 2 条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共有 6 种不
同的道路选择方式
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B. 在 3 张奖券中仅有 1 张能中奖，3 人依次抽取一张，则排在第 2 的人抽奖中奖概率为
C. 某地预测明天下雨的概率为 ，连续两天下雨的概率为 ，则在明天下雨的条件下后天也下雨的
概率为
D. 同时投掷质地均匀 2 枚骰子，点数和有 共 11 种可能，则掷出点数和为 7 的概率为
10. 历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为 ，现有一截面与
圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点 距离圆锥顶点 长度为 1，则以下关于该截口曲线描述正确的命
题有（ ）
A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B. 点 为该曲线的一个焦点
C. 该曲线上任意两点之间的最大距离为
D. 该曲线的离心率为
11. 已知三次函数 在区间 上的值域也为 ，那么下列说法正确的是（ ）
A. 且
B. 当 时，满足要求的 不存在
C. 当 时，有
D. 当 时，有
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 向量 ， ，则 在 方向上的投影向量为________．（坐标表示）
13. 已知反比例函数 的图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________.
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14. 已知递增数列 的各项均是正整数，且满足 ，则 __________， __________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（2）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最
小值.
16. 已知等差数列 中 ，前 10 项和 .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若从数列 中依次取出第 项，按原来的顺序排列成一个新的数列 ，若
，求数列 的前 项和 .
17. 如图，四棱锥 中，平面 底面 ，且 底面正投影点在线段 上，
， .
（1）证明： ；
（2）若 ， 与 所成角的余弦值为 ，求钝二面角 的余弦值．
18. 已知
（1）（i）证明：当 时， ；
（ii）当 时，试确定 符号.
（2）若 ，试说明 在 内有唯一零点.
19. “相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时
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有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是
从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点
运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点.
（1）在平面直角坐标系 中，圆 上有动点 ，已知定点 为 .在研究
“ 最大值”问题时，
（i）如果借助两直线的夹角公式 （其中 为已知两直线的斜率， 为两直线
的夹角， ），试求出用 点横坐标 表示 的函数 ，并求出其最大值及取得最大值
时 点的坐标；
（ii）如果运用“相对运动”的观点，视 点位置不变， 点为动点，试分析 何时取得最大值，并
给出其最大值；
（2）在平面直角坐标系 中，有一动椭圆 始终保持与 轴正半轴、 轴正半轴相切，已知椭圆 的长
轴长为 4，短轴长为 2，试求出该椭圆中心点 的轨迹方程.
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