广东省惠州市惠阳区2024年中考二模数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市惠阳区2024年中考二模数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】，∴的倒数为，
故选：C．
2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】亿，故选：B．
3. 随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）.
A. 仁B. 义C. 智D. 信
【答案】A
【解析】正方体展开有六个面，“礼”与“智，信，义，孝”相邻，分别是都相邻的面，而与“仁”是相对.故答案选A.
4. 如图，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设CD与EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （）
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. （），故该选项不正确，不符合题意；
C. ，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选D
6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），
故选：D．
7. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的关系式是：．
故选：D．
8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】箕面与水平地面的夹角为，
，即箕面绕点旋转的度数为，
故选：A．
10. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意：，，
∴，
∴四边形OACB是菱形，
∴，
连接OC，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
同理：是等边三角形，
故，
由三线合一，在中：，
，
，
，
，
，
故选：B.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解=______．
【答案】．
【解析】==，
故答案为．
12. 若，则______．
【答案】
【解析】∵，，
∴，∴，
∴，∴，
故答案为：．
13. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是______同学．
【答案】丁
【解析】甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，
成绩最稳定的同学是丁．
14. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【答案】400
【解析】设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
15. 一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是 度．
【答案】105
【解析】如图，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可以得到∠1=45°-30°=15°，因此根据直角的意义可求出∠2=75°，再根据平角的意义可求结果为105°．
16. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______．

【答案】
【解析】连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分）
17. （1）计算：；
（2）解不等式：．
解：（1）；
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得．
18. 教育部印发的《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元．
19. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）求证：四边形为平行四边形
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴四边形为平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
解：（1）画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
（2）画树状图如下：
∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ，
答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为．
21. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
解：（1）．
由题意得，∴，
∴，，；
（2），．
．
答：②号“E”的测量距离是．
22. 综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．

素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
【问题解决】
（1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
解：（1）如图1，过作于，

则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）过作于，过作于，

则，
四边形为矩形，，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，， 即，，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 综合探究：
如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，．
（1）如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与的位置关系，并说明理由．
解：（1）是等边三角形，理由如下：
如图1， 是圆O的直径，
，
又，
，
点E与点O重合，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2），
，
当点E在上时，
则，，
，，
在和中，
由勾股定理得，
即，
解得，
；
当点E在上时，同理可得，
解得，
；
综上所述，BC的长为或；
（3）．理由如下：
如图3，连接．
点C是的中点，点O是的中点，
是的中位线，
又与半圆O相切，
．
24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
解：（1）由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
（2）由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，∴，
综上所述，或.
A“杂交水稻之父”袁隆平
B“天眼之父”南仁东
C“航天之父”钱学森
时刻（时）
12
13
14
15
角的正切值
5
2.5
1.25
1