广东省惠州市多校联考2024年中考二模数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市多校联考2024年中考二模数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如果温度上升，记作，那么温度下降记作，
故选：B．
2. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A. 是轴对称图形，本选项符合题意；
B. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长米，其中海底隧道部分全长米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，将数字用科学记数法表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，故选：B．
4. 一个的角放在10倍的放大镜下看是（ ）
A. B.
C. D. 无法判断
【答案】B
【解析】由分析可知：一个角度数为，在10倍的放大镜下观察，这个角的度数为，
故选：B．
5. 下列运算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，是的直径，点在上，若则的度数为（ ）

A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】是的直径，
故选：
7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点B作直线与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（cm）对应关系如下表：
小华的腰围是79，那么他所穿裤子的尺码是（ ）
A. 28英寸B. 29英寸C. 30英寸D. 31英寸
【答案】C
【解析】由题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为，
∴，解得：，
∴，
∴当腰围为，即时，则有，
∴；
故选C．
9. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点 ，；
②作直线，与CD交于点，连接，若，直线恰好经过点，
则的长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】四边形为菱形，
，．
由作图可知，直线为线段的垂直平分线，
，，
在中，
由勾股定理得，，
∵，，．
在中，
由勾股定理得，．
故选：C．
10. 如图，在中，，点、在反比例函数的图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 2.5
【答案】C
【解析】过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
∴，
∵点A、B都在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点A的坐标为，
∴．
故选：C
二、填空题 (共5个小题，每小题3分，满分15分)
11. 已知单词 (微积分)， 从中任取一个字母， 则抽到“”的概率为_____．
【答案】
【解析】“”中有个字母，其中“”的个数为，
抽到“”的概率为，
故答案为：．
12. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】，
故答案为： ．
13. 在社会实践活动中，小明同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_____．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
14. “做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕AD交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则_____．
【答案】
【解析】∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，∴，∴．
如图所示，取中点H，连接，则是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知，重合，即点H与点N重合，
∴是的中位线，
∴，
同理可得是的中位线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转60°到，连接，，若，则的面积为 ________．
【答案】
【解析】如图，连接，，作，，，
由正八边形性质得，，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
由正八边形性质得，
∴，
∵，
∴，同理，
∴，
∴
．
三、解答题 (一) (共3个小题， 第16题10分， 第17、18题7分， 满分24分)
16. （1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中．
解：（1）原式 ；
（2）原式，
当时， 原式．
17. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分， 规定： 为级， 为级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中， 一共抽取了 名学生，级对应的圆心角为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）这组数据的中位数所在的等级是 级；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校综合评定成绩不小于分的学生有多少名?
解：（1）（名），，
故答案为：50， ；
（2）由（1）得一共抽取了名学生，
∴级的人数为（名），
则补全条形统计图如图，
（3）在这组数据中，从小到大排列，第位和第位都在级，
故这组数据的中位数所在的等级是级；
（4） (人)，
答：综合评定成绩不小于75分的学生有1656名．
18. 某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
（1）消毒液和洗手液的单价各是多少元?
（2）学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液?
解：（1）设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，
依题意得：解得：
答：消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，
依题意得： ，
解得： ．最大整数解50，
答：最多可以购买50瓶消毒液．
四、解答题 (二) (共3个小题，每小题9分，满分27分)
19. 【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，DE， 为橡皮筋．

（1）证明：；
（2）当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
（1）证明： 平分，
，
， ，
，
．
（2）解：，，，
为等边三角形，
为直角三角形，
，
答：发射中心向下滑动的距离是．
20. 新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
（1）验证：矩形 EFGH是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形EFGH长为4、宽为3．
（2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
解：（1）矩形EFGH的周长为： ，
矩形的周长为：，
矩形 EFGH的周长矩形的周长．
矩形EFGH的面积为：，
矩形的面积为：，
矩形EFGH的面积矩形 的面积．
矩形EFGH是矩形的“减半”矩形．
（2）该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将 代入②得： 即
方程 无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于、两点， 其中的坐标为 ， 是以点 为圆心，半径长为的圆上一动点，连接BD，为BD的中点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求线段的最小值．
解：（1）直线与双曲线 交于、两点， 的坐标为 ( ，
解得， ，
直线的解析式为，双曲线的解析式为
（2）连接AD，是AB的中点，为BD的中点，
则 是的中位线，所以
当在线段上时，AD最小，则最小，
的坐标为( ，点 ，
，
，
故线段 长度的最小值为．
五、解答题 (三) (共2个小题，每小题12分，满分24分)
22. 如图1， 经过平行四边形的， 两点， 且分别交AB， 于， 两点， 其中 ，．
（1）求 的值；
（2）如图2， 若． ．
①求证：平行四边形 为矩形；
②求的半径．
（1）解：四边形内接于，
．
，
．
，
．
．
，
．
，
’
（2）①证明：过点作于点，
则
，
，
．
，
．
．
四边形平行四边形，
四边形为矩形．
②解：连接并延长交于点，连接，，
∵四边形 内接于，
为直径，
连接， 和，

，
．
，
的半径为
23. 【综合运用】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与轴分别交于点 ，， 顶点为． 其对称轴与轴交于点， 连接， AB． 点 是线段AB上一动点， 点在外角的平分线上， 连接， DE， ， ， 其中．
（1）求点，的坐标；
（2）求的大小；
（3）当线段的长度最小时，求此时 的面积．
解：（1）

∴顶点为
令
解得或，
．
（2）过点作，交于点，
抛物线对称轴为，即．
， ， ，
．
是等边三角形，．
，
．
．
．
即．
，
， ，
．
，
．
，平分，
在和中
．
．
，
是等边三角形．
．
（3）过点作于点 ，
， 点在射线 上运动，
时， 线段 最短．
线段最小值为
， ，
．
．
，
是等边三角形，
．尺码/英寸
…
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…
腰围/
…
…