山东省淄博市临淄区2024年中考二模数学试题（解析版）

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1. 的计算结果是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】．故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵世乒赛颁奖台如图所示，
∴它的左视图是
故选：C
4. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 小亮在网上销售笔记本．最近一周，每天销售某种笔记本的本数为：12，13，14，15，14，16，21．关于这组数据，小亮得出如下结果，其中错误的是（ ）
A. 众数是14本B. 平均数是15本
C. 方差是4D. 中位数是14本
【答案】C
【解析】数据12，13，14，15，14，16，21中，14出现的次数最多，
因此众数是14，故A选项不符合题意；
，即平均数是15，故选项B不符合题意；
，
因此方差为，故选项C符合题意；
将这7个数据从小到大排列12，13，14，14，15，16，21，
处在中间位置的一个数是14，因此中位数是14，故选项D不符合题意；
故选：C．
6. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，
∴．
故选：C．
7. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3，
所以其面积
，
∵，
∴，
∴，
∴的值为3．
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，，
设，则，
由折叠可得，，
∵，
∴，
解得，，
设，∴，∴，
∵，，
解得，
∴点E的坐标为，
故选：A．
9. 如图，三次函数的图象与轴有个交点，分别是，请同学们根据所学过的函数知识进行判断当时，；当时，有最小值；若点在函数的图象上，则的取值只有一个；将函数的图象向左平移个或个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】由图形可得，当时，或，故错误；
由图象可得，当时，有最小值，故正确；
由图象可知，函数的图象过点
若点在函数的图象上，则的取值有两个，故错误；
∵函数的图象经过点，
∴将函数的图象向左平移个或个单位长度，函数图象经过原点，故正确；
∴正确的结论有，共个，
故选：．
10. 如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 函数 中，自变量x取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据二次根式的意义，有，
解得，
故自变量x的取值范围是，
故答案为：．
12. 利用计算器进行计算时，按键顺序如下：
计算结果是_______．
【答案】4
【解析】由题知，，
故答案为：4．
13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】八边形是正八边形，六边形是正六边形，
，，
，
．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为_______．
【答案】
【解析】由题意可设点坐标为，点坐标为，
由图可得，，
的面积为，，
化简可得，则的值为．
15. 如图，在中，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为上一点且满足，连接，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图，取的中点，连接，在上取一点，使得，连接，过点作，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴-，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为半径，点为圆心的圆上，当、、三点共线，连接交于点，则的最小值的长度即为，
故答案为：．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：
（2）化简，并在，，，中选一个合适的数求值．
解：（1）
；
（2）
，
∵分式的分母不为，
∴不能取，，，
∴当时，原式．
17. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，．
（1）求证：
（2）若，求证四边形是菱形
证明：（1）∵，，
∴，
又是平行四边形，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为菱形．
18. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．
解：如图，根据题意，．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：这座山的高度约为．
19. 为了解甲、乙两个茶园种植的“龙井”茶叶的品质，现从两个茶园里分别随机抽取了20份茶叶样本，对它们的品质进行评分（满分100分，分数越高代表品质越好）．评分用x表示，共分为四组，A组：，B组：，C组：，D组：．
甲茶园20份茶叶的评分从小到大分别为：65，68，72，75，78，80，82，85，85，88，90，90，90，92，95，95，95，95，98，100；
乙茶园20份茶叶中有3份的评分为100分，评分在C组中的数据是：85，88，80，85，82，83．
甲、乙两茶园随机抽取的茶叶评分数据统计分析如下表所示，乙茶园抽取的茶叶评分扇形统计图如图所示：

根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出统计表中a，b的值；
（2）若甲、乙两茶园的茶叶总共有2400份，请估计甲、乙两茶园评分在D组的茶叶共有多少份；
（3）本次抽取的40份茶叶样本中，评分为100分的视为“精品茶叶”．茶农要在“精品茶叶”中任选两份参加茶叶展销会，用列表法（或画树状图）求这两份茶叶全部来自乙茶园的概率．
解：（1）由表可知，甲茶园20份茶叶的评分中95分出现了4次，95分出现次数最多，
∴；
乙茶园评分中各组份数：A：（份），B：（份），C：（份）
∵，
∴乙茶园20份茶叶的评分的中位数在C组，
将乙茶园20份茶叶中评分在C组中的数据排序为：80，82，83， 85，85，88．
∴；
（2）乙茶园品质评分在D组的茶叶有（份），
甲茶园品质评分在D组的茶叶有10份，
∴甲、乙茶园品质评分在90分及以上的茶叶共有（份）；
（3）甲茶园评分为100的有1个，乙茶园评分为100的有3个，
甲茶园“精品茶叶”记为1；乙茶园“精品茶叶”记为记为a，b，c；
列表如下：
共有12种等可能结果，这2份茶叶全部来自乙茶园的结果有6种，
∴这2份茶叶全部来自乙茶园的概率为．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于．
（1）求m，n的值及反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移t个单位，若平移后的直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值．
解：（1）将，代入得，，，
解得
将代入，得k＝6，即；
（2）∵直线向下平移t个单位得新直线，
与联立得，
消y得，化简得
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴，
解得或，
∵，
∴（舍去），
即．
21. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务．
【素材1】在入夏之际我市某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需元．
【素材2】每逢周六，该奶茶店生意比平时好，当天销售“芝士杨梅”共获利润元，“满杯杨梅”获利润元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖杯．
【问题解决】任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？
（，）
解：任务1：解：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，
依题意得，，
解得：，
∴，
答：每杯“满杯杨梅”的售价是元，每杯“芝士杨梅”的售价是元；
任务2：
方法一：解：设“芝士杨梅”卖a杯，则“满杯杨梅”卖杯，
依题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且满足题意，
∴“芝士杨梅”成本为（元/杯），“满杯杨梅”成本为（元/杯）
答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；
方法二：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且满足题意；
，，
答：每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元．
22. 已知，内接于，平分交边于点E，连接．
（1）如图1，过点D作直线，求证：是的切线：
（2）小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系；
【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系
【推理证明】延长AC到点P使得，
平分，
，
又，
，
，
，
为正三角形，
.
【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论；
【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论；
【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：．
（1）证明：连接并延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
∴是的切线.
（2）解：①数量关系：，
证明如下：延长到点，使得，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴.
②数量关系：，
证明如下：由①中证明，同理可得，
∴，
过点D作于Q，
在中，，
∴，
∴.
③证明：连接与交于点K，
∵，，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴垂直平分，
设，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
23. 如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，求的最小值；
（3）如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点，
①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积；
②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴，，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，，
则，当、、共线时，取“”，此时的值最小，
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，轴于点，
∴，
∴，
∴的最小值为；

（3）①当时，
∴，
∵轴，，，
∴，，
∴，，
∴点的纵坐标为，，
由，得：或，
∴，
∴，
∴；

当时，
∵，即，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点作交于点，设，则，
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，解得：，
∴，∴，
∴；
综上所述：的面积为或；

②存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，则，
∵点是的中点，
∴，将坐标代入，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
设点
1）当时，点在垂直平分线上，则点的纵坐标为，
∴，解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴；
2）当时，设，
∵，∴，
解得：或，
∴点的坐标为或，
当点的坐标为时，得：
，解得：，
此时；
当点的坐标为时，得：
，解得：，
此时；
点D坐标为或；
3）当时，
∵，，
此时点与点重合，
∴菱形为正方形，
∴，，
∴点向上平移个单位得到点，再向左平移个单位得到；
综上所述：点坐标为或或或．甲茶园
乙茶园
平均数
中位数
89
b
众数
a
95
1
a
b
c
1
a
b
c