山东省淄博市淄川区2024年中考二模数学试题（解析版）

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1. 如果的相反数是 2024，那么的值为( )
A. 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】的相反数是 2024，的值为，
故选：D．
2. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 无法比较
【答案】A
【解析】将平移，让与两个角的顶点重合，
如图：
可得： 在的内部，
所以．
故选：A．
3. 下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
4. 由方程组可得出x与y之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】把方程组两个方程相加得到，
∴，
故选：B．
5. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，
∵，
∴，
故选：C．
6. 在课外活动跳绳时，相同时间内小明跳100次，小亮比小明多跳20次．已知小亮每分钟比小明多跳30次，则小亮每分钟跳（ ）
A. 150次B. 180次C. 120次D. 130次
【答案】B
【解析】设小明每分钟跳x次，则小亮每分钟跳次，
根据题意得：，
解得，
∴，
∴小亮每分钟跳180次．
故选：B．
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）
A. 10B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】，，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得，，
，
，
，
，
故选：C．
8. 如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（ ）

A. 一次函数关系B. 二次函数关系
C. 正比例函数关系D. 反比例函数关系
【答案】A
【解析】由题意可得：，，
则阴影部分的面积为，
即：，为一次函数，
故选：A．
9. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点P从点A沿着匀速运动，y随着x的增大而增大，当时，；点P在上运动时，y随着x的增大而减小，当时，，，继续运动，y随着x的增大而增大，当时y最大，即，；当点P在上运动时，y随着x的增大而减小，最后与点A重合．
在中，，
∴，
∴，即，解得．
故选：A．
10. 若二次函数图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由二次函数可知，抛物线开口向上，
、、，即有，
点关于对称轴的对称点在与之间，
对称轴的取值范围为，
，
点到对称轴的距离小于，点到对称轴的距离大于，
，
故选：．
二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11. 一副三角板中，除直角外最大的锐角是______度．
【答案】60
【解析】一副三角板中的各个角的度数分别是，
一副三角板中，除直角外最大的锐角是，
故答案为：．
12. 若与的和是单项式，则的平方根为__________．
【答案】
【解析】根据同类项的定义题意得： ，
所以，
因为16的平方根是，
所以的平方根是，
故答案为：．
13. 小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下________元．
【答案】31
【解析】设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10=3x+5y-4，∴y=x+7，∴5x+3y+10-8x=5x+3（x+7）+10-8x=31．
14. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为__________．
【答案】
【解析】如图，
由旋转的性质得，，
则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积加上减去扇形的面积再减去，
即边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积减去扇形的面积，
，，．
15. 观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为__________．
……
【答案】2023
【解析】观察表得：分数的分子是几，则必在第几列；
只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第23列，即；
每一行的分子分母之和保持不变，不难发现第n行的分子分母之和是，
分数所在的行数是：，即，
，
故答案为：2023．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）分解因式：；
（2）化简：．
解：（1）；
（2）．
17. 如图，在和中，点、、、在同一条直线上，有下面四个选项：①；②；③；④．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．

解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）
已知：如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
证明：，
，
，
，即，
在和中，
，（SAS），
．
故答案为：①②④；③
18. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．
（1）求盲区中的长度；
（2）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
（参考数据：，，，）
解：（1）在中，（米）．
根据图形，易得四边形为矩形，
所以米．
在中，（米）；
所以盲区中长度为2.8米．
（2）驾驶员不能观察到该物体．理由如下：
过点作交于点．
∵，，
∴．
中，（米）．
因为，
所以驾驶员不能观察到物体．
19. 教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9小时．为了解学生每天的睡眠时间，学校随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为A，B，C，D四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：
A组：睡眠时间＜8小时； B组：8小时≤睡眠时间＜9小时；
C组：9小时≤睡眠时间＜10小时； D组：睡眠时间≥10小时；
如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）请估计全校800名学生中睡眠时间不足9小时的人数．
解：（1）本次共调查了90÷45%=200（人）
（2）B组学生有：200-20-90-30=60（人），
补全的条形统计图如图2所示：
（3）800×=320（人），
答：估计该校学生平均每天睡眠时间不足9h的有320人．
20. 已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求的值．
解：（1），
整理得：
∵，，，
∴=1>0 ，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2），
，
∴，，
①当为对角线时，，
解得：（不符合题意，舍去），
②当为对角线时，，
解得：；
综合可得，的值为4．
21. 如图，在四边形中，，，顶点、，反比例函数的图象经过，D两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； (要求：不写作法，保留作图痕迹)
（3）线段与（2）中所作的垂直平分线分别与交于点两点．求点M的坐标．
解：（1）过点作于点．
∵， ，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
∵反比例函数，∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）如图，直线即为所求；
（3）∵在反比例函数的图象上，∴，∴，
∵，，∴．
22. 如图，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）观察猜想如图1，当时，线段，之间的数量关系，并说明理由；
（2）类比探究如图2．当时，请写出线段，之间的数量关系，并仅就图2的情形说明理由；
（3）拓展应用如图3，当，，点，与的中点三点共线时，请直接写出的值．
解：（1）．理由如下：
连接．
∵，，且由旋转的性质得，
∴，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）．理由如下：
连接．
∵，，且由旋转的性质得，
∴，均为等腰直角三角形．
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在中，，，
∴，．
在中，，
∴．
当点在直线上方时，连接．
同理（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在直线下方时，连接．
同理（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，的值为或．
23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．