山东省淄博市张店区2024年中考二模数学试题（解析版）

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1. 在实数0、、、中，最小的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴在实数0、、、中，最小的实数是-2．
故选：A．
2. 下列如图所示的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】数据用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 为了大力宣传节约用电．某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
A. 平均数是30.5B. 众数是4
C. 中位数是40D. 极差是45
【答案】C
【解析】A，平均数是，故该选项说法错误，不合题意；
B，由题意知，40出现了4次，出现的次数最多，因此众数是40，故该选项说法错误，不合题意；
C，将这10户家庭的月用电量按从低到高顺序排列，第5、6位均是40，因此中位数为，故该选项说法正确，符合题意；
D，这10户家庭的月用电量最大值与最小值的差为，因此极差为35，故该选项说法错误，不合题意；
故选C．
6. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】图中的两个三角形全等，
，
故选：B
7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】可设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意得，，
故选：A．
8. 如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交，于点．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴设，，
∴，
由作图可知，垂直平分，设与的交点为，连接，则，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（不合，舍去）或，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 已知二次函数的图象，现将向下平移k个单位长度得到图象．若，都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】当时，，
解得：，，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
∴抛物线与轴的交点之间的距离为：，
∵二次函数的图象与其向下平移k个单位长度得到图象也与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴每相邻两点间的距离都为，
∴平移后的抛物线与轴的交点坐标为：，，
∴平移后的抛物线解析式为：，
即，
∵抛物线向下平移个单位所得的抛物线解析式为：
，
∴，
故选：A．
10. 如图，在中，，，，点E，F分别是边，上的动点（点E，F均不与的顶点重合），连接，．若，，则m的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，过点B作且，连接，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为线段的长，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 4的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】∵，
∴4的平方根是±2．
故答案±2．
12. 若，是一元二次方程的两个根，则________．
【答案】
【解析】 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
13. 如图，某厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．小明想用科学计算器求上弦的长，若小明按键的顺序为则由左到右第三个空白方格中应按键的符号是_______．（请从，，中选择填写）
【答案】
【解析】过点作于，
∵，，，
∴，
∴在中，，
即由左到右第三个空白方格中应按键的符号是．
14. 如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则_______度．
【答案】
【解析】连接，，
∵，是两条切线，
∴，，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴
在和中，，
∴（），
∴，
∴----，
故答案为：．
15. 如图，四边形，，，，…，都是正方形，对角线，，，，…，都在x轴上（n是整数，且），点，，，，…，在反比例函数的图象上．若已知正方形的面积为2，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】过作轴于，
∵正方形的面积为2，
∴，，
∴，
∴,
∴是的中点，
．
可得的坐标为，
∴,
∴反比例函数,
的解析式为：，
，
的表达式一次项系数与的一次项系数相等，
将代入，
，
的表达式是，
与联立，解得
同上，．，
以此类推，点的坐标为，
∴
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图
所以，原不等式组的解集是．
17. 如图所示，已知直线AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ，求证：∠EPM＝∠FQM．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF=∠CFM（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠PEA=∠QFC（已知），
∴∠AEF+∠PEA=∠CFM+∠QFC（等式性质）．
即∠PEM=∠QFM．
∴PE∥QF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EPM=∠FQM（两直线平行，同位角相等）．
18. 我们定义：二次函数与关于原点O互为“伴随函数”．
（1）请直接写出二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数表达式；
（2）若点在二次函数的图象上，请证明点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上．
解：（1）∵二次函数与关于原点O互为“伴随函数”．
∴二次函数关于原点O互为“伴随函数”为；
（2）∵点在二次函数的图象上，∴，
该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数为，
当时，，
∴点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上；
19. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康，使人聪明，使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．；B．；C．；D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为_______；
（3）若该校有学生1500人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数；
（4）该学校为进一步宣传运动的重要性，决定举行以“我运动我快乐！我运动我成长！”为主题的宣讲活动，现已从D组中择优遴选了4名同学，已知其中1名同学为男生3名同学为女生，学校想从这4位同学中随机选择2位同学参加宣讲活动，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
解：（1）（人），即共调查了120名学生；
（2）C组人数为（人），
补全频数分布直方图如下：

C组所对应扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）（人），
即估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的有人．
（4）画树状图如图所示，
共有种等可能结果，其中一男一女的情形有种，
∴选中的两人刚好是一男一女的概率为．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，请直接写出关于x不等式的解集．
（3）在线段上取点C（不与点A，B重合），连接，交反比例函数的图象于点D，连接．当时，求点C的坐标．
解：（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，∴，
把、代入，得：，解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）由图象可知当或时，，
∴不等式的解集是或．
（3）分别过C，D两点作轴于，作轴于，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数解析式为，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或，
∴点C的坐标为或．
21. 如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：）
（1）求出遮阳棚前端M到墙面的距离；
（2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
解：（1）过点M作，垂足为N，
在，米，，
，
米，
遮阳棚前端M到墙面的距离为米；
（2）如图，过点E作，垂足为H，
在，米，，
米，
米，
米，
由（1）可知米，
米，米，
米，
在中，米，
米，
加装的前挡板的宽度的长是米．
22. 如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A，C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接．
（1）若，则__________；
（2）将绕点C逆时针旋转，当旋转至如图2所示的位置时，连接，，请判断此时的形状，并说明理由；
（3）若，，在（2）中图2的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中（如图3），当平行四边形为菱形时，请直接写出的面积．
解：（1）四边形是平行四边形，
，
∵为等腰直角三角形，且，
，
，
∵为等腰直角三角形，且，
则，
则，
，
，
是等腰直角三角形，
．
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于．

∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
四边形是平行四边形，
，，则，
，则，
∴，
则，
又∵，
，
在和中，，
，
，，
则，
，
是等腰直角三角形；
（3）∵为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，则，
当时，即时，四边形是菱形，
①若在下方，设交于H，
∵，，
则垂直平分，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知是等腰直角三角形，则，
则的面积；
若在上方，同理可求，
则的面积；
综上所述，当平行四边形为菱形时，的面积为9或25．
23. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求该抛物线及直线的函数表达式；
（2）如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点，代入，
得，，解得，
所以，该抛物线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，，解得，
所以，直线的函数表达式为；
（2）如图，过点A作轴，交于点F，
因为，轴，
所以，所以，
因为，所以，所以，
在和中，，
所以， 所以，，
由直线和点，得点F坐标为，
所以，，
，，
所以，的周长，
所以，的周长．的周长，
设点P的坐标，则点E的坐标，
所以，，
所以，当时，取得最大值，
即，当时，的周长取得最大值：，
此时点P的坐标为；
（3）设点P的坐标，设点Q的坐标，
①当点P在y轴右边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交y轴于点M，过点B且平行于y轴的直线于点N，如图（1），
所以，，，，，
因为，当时，，所以，
即，
解得，（舍）
所以，点P的坐标为，
由题意，易得线段的中点坐标为，
因为，点Q与点P关于线段的中点成中心对称，
所以，，，
所以，点Q的坐标为；
②当点P在y轴左边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交x轴于点N，交过点C且平行于x轴的直线于点M，如图（2），
同①得，，即，
解得，
所以，点P的坐标为，
同理，因为点Q与点P关于线段的中点成中心对称，
所以，，
所以，点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为或．月用电量（度）
25
30
40
50
60
户数
1
2
4
2
1