湖南省永州市2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份湖南省永州市2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析，共35页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，将答题卡上交， 已知函数 ， 且 ， ，， 已知实数 ， 满足 ，则等内容，欢迎下载使用。
班级：______姓名：______准考证号：______.
（本试卷共 4 页，19 题，考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可.
【详解】由题意知 对应的点为 ，
对应的点为 ， ．
故选：C.
2. 函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】由对数式的真数大于 0，分式的分母不为 0 联立不等式组求解.
【详解】函数 ，
， ，
．
故选：B.
3. 在 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理可得 ，解得 ，可求 .
【详解】在 中，若 ， ， ，
由正弦定理得 ，所以 ，解得 ，
又 且 ， ， 或 ．
故选：D.
4. 已知 ，不等式 解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】利用余弦型函数的图象及性质即可求解.
【详解】对 ， ，结合 的图象可知 ．
故选：C
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断大小即可.
【详解】由函数 是 内的单调减函数， ，
所以 ，
，
由函数 是 上的单调增函数，所以 ，
而 ， ，
所以 ．
故选：A.
6. 已知向量 和 满足 ， ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 两边平方，由向量数量积的定义可得 ，再由投影向量的计算公式计算
即可.
【详解】由题意知， ，设 ， 夹角为 ，
，
又 ， ， ，
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所以 ，
向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：B.
7. 已知圆 的半径为 2，六边形 是圆 的内接正六边形， 为圆 上的任意一点，则
（ ）
A. 48 B. 36 C. 24 D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得 ，再利用互补的角的余弦值相加等于 0，即可求得答案.
【详解】由已知六边形 的边长及 到各个顶点的长度均为 2，
由图可知 ，同理 ，
．又
，
又由图知 ， ，
．
所以 ．
故选：A.
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8. 已知函数 ， 且 ， ，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 设 ， 可 得 ， 令 ， 可 得
对 恒成立，分 或 或 三种情况讨论
可求得 的范围.
【详解】不妨设 ，即 ，则有 ，
即 ，
令 ， ，则 对 恒成立．
又 ，
①若 ，则 ，得 ；
②若 ，则 ，得 ；
③若 ，则 符合题意．
综上， ．
故选：B．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
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要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 设 ， 为非零向量，若 ，则 ， 的夹角为锐角
B. 设 ， ， 为非零向量，则
C. 设 ， 为非零向量，若 ，则
D. 若点 为 的重心，则
【答案】CD
【解析】
【分析】由 ，可得 ，可判断 A；根据数量积的意义判断 B；根据向量垂直，数量积等
于 0 计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断 D.
【详解】对于 A 选项，若 ，则 ， ，
与 平行或 与 夹角为锐角，所以 A 错误；
对于 B 选项， ， ， 为非零向量，则 是与 共线的向量， 是与 共线的向量，
而 与 不一定共线，故 不一定成立，所以 B 错误；
对于 C 选项，因 ，所以 ，
，所以 C 正确；
对于 D 选项， 为 的重心，
则点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
且 ， ， ，
则 ，所以 D 正确．
故选：CD．
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10. 已知实数 ， 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数的运算法则和真数大于 0 可得 ，即可判断 ABC；利用 的单调性
即可判断 D.
【详解】A 选项，由题意可知 ，即 ，则 ，
因 ， ，则 ，
因 在 单调递减，则 ，故 A 正确；
B 选项，易知 ，因 在 上单调递减，则 ，故 B 错误；
C 选项，由 ，得 ， ，则 ，故 C 正确；
D 选项，因 在 单调递增， 在 单调递减，
则 在 单调递增，
则 ，即 ，故 D 正确．
故选：ACD
11. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 有两个零点，则
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D. 若 的定义域为 ，且 ，且 与 图象的交点为 ，
， ， ，则 必为奇数
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A 选项，判断出 在 上单调性，即可判断；对于 B 选项，设 ，利用
单调性可得 ，即可判断；对于 C 选项，画出 的图象，结合图象可得 m 的范围，
即可判断；对于 D 选项，由已知可求函数的对称中心，结合函数的对称性即可求解.
【详解】对于 A 选项， ，
因为在 上 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
当 时 ，故 A 错误；
对于 B 选项，不妨设 ，
，
又 在 上单调递减，则 ， ，故 B 正确；
对于 C 选项， ，则可知 的图象如图所示，
要使 存在两个不同的根，则 ，故 C 错误；
对于 D 选项，因为 ，所以 关于（0，1）对称，
又由 B 中知 为奇函数，所以 关于（0，1）对称，
在 上存在 个根， ，
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由对称性可知 在 上也存在 个根，
则 与 共存在 个交点， ，所以 一定为奇数，故 D 正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 ，则 _____
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据分段函数函数值的计算求解即可.
【详解】 ，所以 ．
故答案为： .
13. 的图象经过点 ，且在区间 上单调递增，则 的
取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知点求出的值，再根据余弦函数的单调性列出关于 的不等式求解即可.
【详解】因为 的图象经过点 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
当 时， ，
因为 在区间 上单调递增，
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则 ， ，知 ，
又因为 ，且 ， ，
所以 ，即 ．
故答案为： .
14. 在直角三角形 中，斜边为 ，点 在边 上，若 ，
，则 _____
【答案】 ##
【解析】
【分析】由 ，结合同角关系求出 ， ，根据
求出 ，由 求出结果.
【详解】因为 ，所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，所以 ，
则 ．
故答案为：
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知单位向量 ， ，夹角为 ， ， ，且 与 的夹角为 ．
（1）若 与 所成的角为锐角，求实数 的取值范围；
（2）若向量 为 在 上的投影向量，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，先求出 m，根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数 m 的取值范围；
（2）求出 ，则可求出 ，即可求得 ．
【小问 1 详解】
因为单位向量 ， ，夹角为 ， ， ，
则 ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
则由题可知 ，解得 ．
所以实数 的取值范围为 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ，
向量 为 在 上的投影向量，
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则 ，且 ，
则 ，
所以 ．
16 已知向量 ， ，函数 ．
（1）求 的单调递减区间；
（2）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位得到 的图象，求
在 上的值域．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得
，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案；
（2）由图象变换得到 解析式，再利用整体法求值域.
【小问 1 详解】
因 向量 ， ，函数 ，
所以
，
令 ， ，
解得 ， ，
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所以 的单调递减区间为 ， ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位，
则 ，
当 时， ， ，
则 ．
所以 在 的值域为 .
17. 在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ．
（1）求证： ；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知和余弦定理，可得 ，再由正弦定理及正弦的两角和与差公式可得
，即可得到 ；
（2）利用正弦定理即二倍角公式 ，由 为锐角三角形，得到 ，可得
，则得到 的取值范围．
【小问 1 详解】
在锐角 中， ，由余弦定理得 ，则 ，
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由正弦定理得 ，即 ，
，又在 中， ，
， ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ，
由正弦定理
，
又 为锐角三角形，
， ， ，
，
即 的取值范围为 .
18. 已知函数 ．
（1）证明：曲线 是中心对称图形．
（2）已知 ，若 ，当且仅当 时成立．
（ⅰ）求实数 的值；
（ⅱ）若 是 的零点， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） （ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由已知，得 ，即可证明；
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（2）（ⅰ）由（1）知 关于（9，9b）对称，计算即可求解；
（ ⅱ ） 由 （ i）， 根 据 零 点 的 概 念 可 得 ， 根 据 对 数 的 运 算 性 质 和 换 元 法 可 得
，（令 ），进而 与 都是 的零点，结合零点的存在性定理和 的单调
性可得 ，即可求解.
【小问 1 详解】
，
， ．
即 关于 对称．
综上，曲线 是中心对称图形．
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ，则 的定义域为 ，
对于 ，函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，则函数 在 上单调递增，
又 ，函数 是增函数，所以函数 在 上单调递增，
由（1）知 关于 对称．
当且仅当 时成立，
当 时， ．
，即 ，
所以 ．
（ⅱ）因为 是 的零点，
所以 ， ，
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又 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
，即 ， 都是方程 的解，
与 都是 的零点，又由（ⅰ）知 在 上单调递增，
，即 ．
19. 对任意的实数 ，定义 ，其中 表示不超过 的最大整数．
（1）已知函数 ， 的值域为集合 ，求 的真子集个数．
（2）已知 ， ， ， ， 为 的零点，求 ．
（3）设 ， ， ， 是任意给定的 个互不相等的实数．求证：存在某个正整数 ，使得
．注： ．
【答案】（1）7 个 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的单调性结合真子集的个数公式计算求解；
（2）应用零点定义及等差数列求和公式计算求解；
（3）应用新定义结合求和公式计算证明不等式.
【小问 1 详解】
，
在 上单调递增．
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， ，即 的真子集个数为 个，
综上， 的真子集个数为 7 个．
【小问 2 详解】
由 ，得 ．
又 ，得 ， ．
由题意知 为整数， 只能取 ， ， ， ， ．
当 时， ．
从而 ，即 只能取值 ， ， ， ．
．
综上， ．
【小问 3 详解】
证明：设 ．
对任意的正整数 ，
当 时， 或 1．即 ．
当 时， ．
．
即在 ， ， ， 中至少有一个数不大于 ．
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不妨设 ，所以存在正整数 ，
使得 ．
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