湖南省永州市2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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班级：______姓名：______准考证号：______.
（本试卷共 4 页，19 题，考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
4. 已知 ，不等式 的解集为（ ）
A. B.
C D.
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5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量 和 满足 ， ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
7. 已知圆 的半径为 2，六边形 是圆 的内接正六边形， 为圆 上的任意一点，则
（ ）
A. 48 B. 36 C. 24 D. 52
8. 已知函数 ， 且 ， ，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列关于平面向量 说法中正确的是（ ）
A. 设 ， 为非零向量，若 ，则 ， 的夹角为锐角
B. 设 ， ， 为非零向量，则
C. 设 ， 为非零向量，若 ，则
D. 若点 为 的重心，则
10. 已知实数 ， 满足 ，则（ ）
A. B.
C D.
11. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 若 ，则
B 若 ，则
C. 若 有两个零点，则
D. 若 的定义域为 ，且 ，且 与 图象的交点为 ，
， ， ，则 必为奇数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 ，则 _____
13. 的图象经过点 ，且在区间 上单调递增，则 的
取值范围为_____．
14. 在直角三角形 中，斜边为 ，点 在边 上，若 ，
，则 _____
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知单位向量 ， ，夹角为 ， ， ，且 与 的夹角为 ．
（1）若 与 所成的角为锐角，求实数 的取值范围；
（2）若向量 为 在 上的投影向量，求 ．
16. 已知向量 ， ，函数 ．
（1）求 的单调递减区间；
（2）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位得到 的图象，求
在 上的值域．
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17. 在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ．
（1）求证： ；
（2）求 的取值范围．
18. 已知函数 ．
（1）证明：曲线 是中心对称图形．
（2）已知 ，若 ，当且仅当 时成立．
（ⅰ）求实数 的值；
（ⅱ）若 是 的零点， ，求 的值．
19. 对任意的实数 ，定义 ，其中 表示不超过 的最大整数．
（1）已知函数 ， 的值域为集合 ，求 的真子集个数．
（2）已知 ， ， ， ， 为 的零点，求 ．
（3）设 ， ， ， 是任意给定的 个互不相等的实数．求证：存在某个正整数 ，使得
．注： ．
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