湖南省2024_2025学年高一数学下学期期中联考试题解析版

这是一份湖南省2024_2025学年高一数学下学期期中联考试题解析版，共16页。试卷主要包含了 已知 ，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算可得答案.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
2. 已知圆柱的底面半径为 1，侧面积为 ，则该圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据侧面积求出圆柱的高，利用体积公式可得答案.
【详解】设高为 ，因为圆柱的底面半径为 1，侧面积为 ，所以 ，即 .
圆柱的体积为 .
故选：C
3. 已知集合 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】先求解集合 ，然后根据交集的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选： .
4. 如图， 是平行四边形 的边 上一点，且 为 的中点，则 （
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量三角形法则,用向量 分别表示 ，然后即可得解.
【详解】因为 所以 易知 , ，
又 为 的中点，所以 ，
所以 ,
，
因此
故选：A
5. 已知 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据齐次式可得 ，进而根据正切差角公式求解.
【详解】由 得 ，故 ，
因此 ，
故选：D
6. 如图，点 为正方形 的中心，点 在平面 外， 是线段 的中点，则下列各选项中
两条直线不是异面直线的为（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可.
【详解】在正方形 中， ，
所以 在平面 内， 不在直线 上，
又 不在平面 内，所以 与 异面；
因为 平面 ， 在平面 内， 不在直线 上，
又 不在平面 内，所以 与 异面；
因为 平面 ， 在平面 内， 不在直线 上，
又 不在平面 内，所以 与 异面；
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连接 ，因为点 为正方形 的中心，又 是线段 的中点，
所以 ，所以 在平面 内，所以 与 不是异面直线.
故选： .
7. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为 ，下底
面边长为 ，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入 时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，
则该方斗杯的容积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设线段 、 、 、 的中点分别为 、 、 、 ，利用台体的体积公式计算出棱
台 与棱台 的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积.
【详解】设线段 、 、 、 的中点分别为 、 、 、 ，如下图所示：
易知四边形 为等腰梯形，因为线段 、 的中点分别为 、 ，
则 ，
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设棱台 的高为 ，体积为 ，
则棱台 的高为 ，设其体积为 ，
则 ，则 ，
所以， ，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为 .
故选：B.
8. 定义域为 的函数 的图象的两个端点为 .点 是 的图象
上一点，其中 ，点 满足 ，其中 为原点，我们把
的最大值称为 的“峰值”.若函数 的峰值为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求解 的表达式，根据表达式求出最大值可得答案.
【详解】由题意 ， ，
， ；
，
，
令 ，则 ，
令 ， ，
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由于 ，且 ，当且仅当 时取到最小值.
因为 的峰值为 ，即 的最大值为 ，
所以 ，解得 或 （舍）.
故选：C
二､多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则（ ）
A. B.
C. 与 共线 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得 和 ，根据向量模的坐标运算即可判断 ；根据向量数量积的坐标运算即可判断 ；
由向量共线定理可判断 ；由向量夹角的坐标运算即可判断 .
【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 ，故 正确；
因为 ，所以 与 不垂直，故 不正确；
因为 ，所以 ，所以 与 共线，故 正确；
因为 ，因 ，故 ，故 正确.
故选： .
10. 在 中，内角 的对边分别为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则 一定是等腰三角形
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D. 若 ，则 一定 等边三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用举反例式即可判断 A；利用余弦函数的单调性即可判断 B；利用正弦定理化边为角结合两角和
的正弦公式及三角形内角和定理即可判断 C;利用正弦定理化边为角即可判断 D；
【详解】对于 A：当 时，满足 ，而此时 ，故 A 错误；
对于 B：因函数 在区间 上单调递减，故 时，有 ，
又因为大边对大角，小边对小角即可得到 ，故 B 正确；
对 于 C： 因 为 ， 所 以 ,即 ， 故
，
又因为 ,故 或 (舍去)，所以 一定是等腰三角形，故选项 C 正确；
对于 D：因为 ，所以 ，即 ，
故 ，所以 ,则 一定是等边三角形,故选项 D 正确；
故选：BCD
11. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，且 ，P 为 的中点，
则（ ）
A. 三棱锥 的体积为 4 B. 三棱锥 的体积为
C. 四棱锥 的体积为 8 D. 三棱锥 的表面积为
【答案】ACD
【解析】
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【分析】借助几何体的表面积和体积公式逐项计算即可得.
【详解】对 A： ，故 A 正确；
对 B： ，而三棱锥 与三棱锥 有共同的高，
∵P 为 的中点，∴ ，∴ ，故 B 错误；
对 C： ，故 C 正确；
对 D：由题可知， ， ， ，∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴三棱锥 的表面积为：
，故 D 正确．
故选：ACD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 且 的图象所过定点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数的性质可得答案.
【详解】当 时， ，即 时， ，所以函数图象所过定点的坐标为 .
故答案为：
13. 已知向量 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律与 求解 .
【详解】由 ，
则 ，即 ，
则 ，即 ，
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故 ，即 .
故答案为： .
14. 在三棱锥 中，底面 是等腰直角三角形， ， 且
与 的面积之比为 ，若点 都在球 的球面上，则球 的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，根据两三角形面积之比求出 ，因为 两两垂直，故三棱锥
的外接球即为以 为长宽高的长方体外接球，从而得到外接球半径，得到外接球表面
积.
【详解】三角形 是等腰直角三角形， ，故 ⊥ ，
由勾股定理得 ，
取 的中点 ，则 ，
因为 ， ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
设 ，则 ， ，
故 ⊥ ， ，
与 的面积之比为 ，故 ，解得 ，
故 ，
点 都在球 的球面上，因为 两两垂直，
故三棱锥 的外接球即为以 为长宽高的长方体外接球，
故外接球半径为 ，
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球 的表面积为
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的最大值为 1.
（1）求 的值及 的最小正周期；
（2）求使 成立的 的取值集合.
【答案】（1） ，最小正周期为
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简函数利用最值求 ，利用周期公式求周期；
（2）根据三角函数的性质求解不等式即可.
小问 1 详解】
，
因为最大值为 1，所以 ；周期 .
【小问 2 详解】
由 可得 ，
所以 ，解得 ，
故使 成立的 的取值集合为 .
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16. 如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，且 ，求三棱锥 的高.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出线线平行，再结合线面平行的判定证明即可；
（2）利用等体积法可求答案.
【小问 1 详解】
取 的中点 ，连接 ,
因为 分别为中点，所以 且 ，
因为 ，所以 ，
因为 为中点，所以 且 ，即四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
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【小问 2 详解】
因为 ，且 ，所以 ， ;
所以 面积为 ，
设三棱锥 的高为 ，则 ,
，解得 ，即三棱锥 的高为 .
17. 如图，在 中，点 C，D 分别在线段 OA 和 AB 上， .
（1）若 ，求 的坐标和模；
（2）若 AE 与 OD 的交点为 ，设 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意首先得 分别是 的中点，进一步结合 即
可求得 坐标，由模的坐标公式即可求得 的模；
（2）由 三点共线，由 三点共线且可知 是边 中点，可建立一个分解后的向量恒等式，
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从而建立关于 的二元一次方程组，由此即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，从而结合图形可知 ，
这表明 是 的中位线，即 分别是 的中点，
又 ，
所以 ，
.
【小问 2 详解】
由 三点共线可知，
存在 使得， ，
同理由 三点共线可知，且由（1）可知 是边 中点， ，
而 ，所以 ，
而 显然不共线，
所以只能 ，解得 .
18. 已知复数 .
（1）若 为纯虚数，求 .
（2）若关于 的方程 有两个不同的根，且两个根都能写成题中 的形式，分别
求下面两种情况下 的值：
（i）两个根都是实数；
（ii）两个根都是虚数.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数 定义即可求解；
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（2）（i）由已知虚部为 0，得到 的值，利用韦达定理即可求解；（ii）由已知两根为共轭复数，设出两根
列方程组求出两根，利用韦达定理即可求解.
【小问 1 详解】
因为 为纯虚数，所以 ，所以 ；
【小问 2 详解】
（i）因为两个根都是实数，所以 的虚部为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以方程的两个根为 和 ，
所以 ， ；
（ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数，
设两根分别为 ，
，且 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 ， 或 ， ，
所以 ， .
19. 在 中，内角 的对边分别是 ，已知 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 为 内一点且 ，求 长度的最大值；
（3）若 为锐角三角形，求 的周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
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【解析】
【分析】（1）由正弦定理将角转化为边可得 ，再根据余弦定理即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 ，由向量的加法可得 为 的中点，利用向量的中线公式及余弦定理结
合不等式可得 ，即可求解；
（3）根据正弦定理可得 ， ，利用三角形内角和定理和三角恒等变换可得
，根据正弦函数的性质即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
整理可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 为 的中点，
因为 ，
所以
，
由余弦定理可得 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 长度的最大值为 ；
【小问 3 详解】
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由正弦定理得 ，
所以 ， ，
所以
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长的取值范围为 .
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