人教版（2024）八年级上册（2024）18.2 分式的乘法与除法图片课件ppt

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）18.2 分式的乘法与除法图片课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了类比导入，分式的乘除法法则，例1计算，解法一，解法二，例2计算，解原式，注意事项等内容，欢迎下载使用。
18.2.1 分式的乘除教案一、教学目标（一）知识与技能目标学生能够准确理解并熟练掌握分式的乘除运算法则，即分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。能熟练运用分式乘除法则进行分式的乘除运算，包括分子分母为单项式、多项式的不同形式，准确进行约分，将结果化为最简分式或整式。能够运用分式乘除运算解决实际问题，将实际问题中的数量关系转化为分式的乘除运算，提高数学建模和应用能力。（二）过程与方法目标通过类比分数的乘除运算，引导学生探究分式乘除法则，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，让学生体会从熟悉知识到新知识的转化过程。在分式乘除运算的练习过程中，提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生严谨的计算习惯和认真审题的意识。通过解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。（三）情感态度与价值观目标以实际生活中的问题引入分式乘除运算，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。在探究分式乘除法则和解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力，让学生在合作中体验成功的喜悦，感受集体的力量。二、教学重难点（一）教学重点分式乘除运算法则的推导和理解，掌握分式乘除运算的基本方法和步骤。熟练运用分式乘除法则进行分式的乘除运算，能够准确进行约分，将结果化为最简形式。运用分式乘除运算解决实际问题，理解实际问题中的数量关系并转化为数学运算。（二）教学难点当分式的分子分母为多项式时，准确进行因式分解，以便找到公因式进行约分，确保运算的准确性。在分式乘除混合运算中，合理确定运算顺序，正确运用法则进行计算，避免出现符号错误和运算顺序错误。理解分式乘除运算的算理，能够解释每一步运算的依据，提高学生对数学运算的理性认识。三、教学方法类比教学法：通过回顾分数的乘除运算规则和方法，与分式的乘除运算进行类比，引导学生自主发现分式乘除法则，降低学习难度，提高学生的学习兴趣和理解能力。探究式教学法：设置问题情境，引导学生通过观察、分析、计算等活动，自主探究分式乘除法则的推导过程，培养学生的自主探究能力和创新思维。讲练结合法：在讲解分式乘除法则和例题后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，教师巡视指导，及时发现问题并纠正，提高学生的运算技能。小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨分式乘除运算中的难点问题和实际应用问题，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队合作精神。四、教学过程（一）复习导入（5 分钟）回顾分数的乘除运算法则：提问学生分数乘法的运算法则，预设学生回答：分数乘以分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，如\(\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=\frac{2×4}{3×5}=\frac{8}{15}\)。提问分数除法的运算法则，学生回答：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数，如\(\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{2×5}{3×4}=\frac{5}{6}\)。思考与启发：提出问题：既然分数有这样的乘除运算法则，那么分式的乘除运算是否也有类似的规律呢？引导学生思考分式乘除运算的方法，从而引出本节课的课题 —— 分式的乘除。（二）探索新知（15 分钟）分式乘法法则的推导展示问题：一个长方形的长为\(\frac{a}{b}\)，宽为\(\frac{c}{d}\)，求它的面积。引导学生根据长方形面积公式\(S = 长×宽\)，列出算式\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}\)。类比分数乘法，让学生尝试计算\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}\)，得出\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{a×c}{b×d}=\frac{ac}{bd}\) 。再给出多个分式乘法的例子，如\(\frac{2x}{3y}×\frac{3y}{4x^2}\)，\(\frac{m^2 - n^2}{m + n}×\frac{1}{m - n}\)，引导学生计算并观察结果。总结归纳分式乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D}=\frac{A×C}{B×D}\)（\(B≠0\)，\(D≠0\)）。分式除法法则的推导提出问题：已知一个数与\(\frac{c}{d}\)的乘积为\(\frac{a}{b}\)，求这个数。引导学生根据除法的意义列出算式\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}\)。类比分数除法，思考\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}\)的计算方法，因为除法是乘法的逆运算，所以\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{a×d}{b×c}=\frac{ad}{bc}\) 。同样给出多个分式除法的例子，如\(\frac{4a}{5b}÷\frac{2a^2}{15b^2}\)，\(\frac{x^2 - 9}{x + 3}÷\frac{x - 3}{x^2 + 3x}\)，让学生计算并总结规律。归纳分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示为\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}=\frac{A×D}{B×C}\)（\(B≠0\)，\(C≠0\)，\(D≠0\)）。约分与最简分式结合前面的计算过程，讲解约分的概念和方法。在分式乘除运算中，要先将分子分母进行因式分解（若为多项式），然后找出公因式进行约分，将结果化为最简分式或整式。例如对于\(\frac{m^2 - n^2}{m + n}×\frac{1}{m - n}\)，先对\(m^2 - n^2\)因式分解为\((m + n)(m - n)\)，则原式\(=\frac{(m + n)(m - n)}{m + n}×\frac{1}{m - n}=1\) 。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：计算(1)\(\frac{2x}{3y}×\frac{9y^3}{4x^2}\)分析：根据分式乘法法则，分子相乘，分母相乘，然后约分。解：\(\frac{2x}{3y}×\frac{9y^3}{4x^2}=\frac{2x×9y^3}{3y×4x^2}=\frac{18xy^3}{12x^2y}=\frac{3y^2}{2x}\)(2)\(\frac{a^2 - 4}{a + 3}×\frac{a + 3}{a - 2}\)分析：先对分子\(a^2 - 4\)因式分解为\((a + 2)(a - 2)\)，再进行计算和约分。解：\(\frac{a^2 - 4}{a + 3}×\frac{a + 3}{a - 2}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 3}×\frac{a + 3}{a - 2}=a + 2\)例 2：计算(1)\(\frac{3xy^2}{4z^2}÷\frac{5x^2y}{8z^2}\)分析：根据分式除法法则，将除法转化为乘法，再进行计算。解：\(\frac{3xy^2}{4z^2}÷\frac{5x^2y}{8z^2}=\frac{3xy^2}{4z^2}×\frac{8z^2}{5x^2y}=\frac{3xy^2×8z^2}{4z^2×5x^2y}=\frac{24xy^2z^2}{20x^2yz^2}=\frac{6y}{5x}\)(2)\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4}÷\frac{x - 1}{x + 2}\)分析：先对分子\(x^2 - 1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\)，分母\(x^2 + 4x + 4\)因式分解为\((x + 2)^2\)，然后将除法转化为乘法进行计算。解：\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 4}÷\frac{x - 1}{x + 2}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 2)^2}×\frac{x + 2}{x - 1}=\frac{x + 1}{x + 2}\)（四）课堂练习（10 分钟）计算(1)\(\frac{5a^3b}{2c}×\frac{4c^2}{5a^2b^2}\)(2)\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}×\frac{x + 3}{x - 3}\)(3)\(\frac{4a^2b}{3c}÷\frac{8ab^2}{9c^2}\)(4)\(\frac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - 1}÷\frac{m - 2}{m + 1}\)解决实际问题：小明家承包了一块长方形土地，长为\(\frac{2a}{b}\)米，宽为\(\frac{3b^2}{4a}\)米，求这块土地的面积。若每平方米土地可种植\(5\)棵果树，这块土地一共能种植多少棵果树？教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调运算过程中的易错点，如因式分解错误、约分不彻底、符号处理不当等。（五）课堂小结（3 分钟）与学生一起回顾分式乘除的运算法则，强调分式乘法和除法的计算方法以及两者之间的联系（除法转化为乘法）。总结在分式乘除运算中进行约分的重要性和方法，以及如何将结果化为最简分式或整式。鼓励学生在课后多做练习，熟练掌握分式乘除运算，提高运算的准确性和速度。（六）作业布置（2 分钟）基础作业：教材课后练习题中关于分式乘除运算的基础题目，要求学生认真完成，巩固本节课所学的知识和技能。拓展作业：计算\(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}\)，提高学生综合运用分式乘除和加减运算的能力。编写一道与生活实际相关的分式乘除应用题，并解答，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和创新思维。五、教学反思在教学过程中，密切关注学生对分式乘除运算法则的理解和掌握情况。通过课堂练习和学生的回答，分析学生在运算过程中出现的问题，如因式分解不熟练导致无法准确约分、运算顺序错误、符号处理不当等。针对这些问题，在后续教学中加强因式分解知识的复习和巩固，增加分式乘除混合运算的练习，强化学生对运算顺序和符号规则的理解和应用。同时，关注学生在小组合作学习中的表现，及时给予指导和反馈，提高学生的合作学习效果。此外，思考如何设计更有趣、更贴近生活的实际问题，激发学生的学习兴趣，让学生更好地体会数学知识的实用性，进一步优化教学方法，提高课堂教学质量。
1. 通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，培养学生类比、归纳的意识以及准确的语言表达能力．2．让学生在自主探究、合作交流中体会类比、转化的思想，使学生感受探索的乐趣和成功的体验．3．通过具体的分式乘除计算，进一步巩固掌握分式的乘除法法则，锻炼学生的计算能力．
1.一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水高多少?
2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
解：大拖拉机的工作效率是 公顷/天，小拖拉机的工作效率是 公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
在计算的过程中，运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？　　　
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；②分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行.
一定要注意符号变化呦！
①若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；②分式与分式相除时，一定要先转化为乘法，再按照乘法法则运算.
例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a–1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
∵0＜(a–1)2＜ a2–1，
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2–1)m²，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a–1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2.
A. ③②①B. ③①②C. ④②①D. ④①②
A. 0个B. 7个C. 8个D. 无数个
10.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复这种运算的过程如下：
①若分子分母都是单项式，把分子分母分别相乘，约去公因式，最后化为最简分式或整式；
②若分子分母有多项式，先把多项式分解因式，看能约分的先约分，然后相乘；
③分式与分式相除时，按照法则先转化为乘法，再运算.