2024~2025学年山东济宁高二第一学期10月月考数学试题[附解析}

这是一份2024~2025学年山东济宁高二第一学期10月月考数学试题[附解析}，共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．
2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正确答案】B
【分析】计算出必然事件和不可能事件的个数，用事件总数减去它们之和即得答案.
【详解】这10个事件中必然事件的个数为，不可能事件的个数为，
所以具有随机性的事件的个数为．
故选：B
2. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据共面定理逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，A错误．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，B错误．
假设存在m，n，使得，
则，显然无解，所以，，不共面，
所以是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，D错误．
故选：C
3. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解．
【详解】由题意，直线，
令，解得，故；令，解得，所以．
故选：B．
4. 甲、乙两名同学将参加年高考，近一年来的各种数学考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考分以上的概率分别为和，甲、乙两人能否考分以上相互独立，则预估这两人在年高考中恰有一人数学考分以上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由独立事件的概率公式可知，所求概率为.
故选：C.
5. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.
【详解】

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为．
故选：C
6. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
7. 如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】构建空间直角坐标系坐标系，通过空间向量求解即可.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，
得．
点到平面的距离为．
故选：D.
8. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A. （0，1）B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为．
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N，
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，
则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，
即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 2（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值可能是（ ）
A. B. C. 0D.
【正确答案】BCD
【分析】利用正切函数图象求解即可.
【详解】当斜率k存在时，，，
因为，由正切函数的图象可知，倾斜角．
故选：BCD

10. 下列选项中正确的是（ ）
A. 某人上班路上要经过3个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么他在第3个路口才首次遇到红灯的概率为
B. 甲、乙、丙三人独立破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为
C. 一个袋子中有3个红球，4个蓝球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为
D. 丢两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为
【正确答案】AC
【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的概念计算即可判断ABC，根据古典概型的概率公式计算即可判断D.
【详解】对于A，在第3个路口才首次遇到红灯的概率为，故A正确；
对于B，因为此密码没被破译的概率为，
所以此密码被破译的概率为，故B不正确；
对于C，两次取到的球颜色相同的概率为，故C正确；
对于D，丢两枚硬币的样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
所以恰好一正一反的概率为，故D不正确．
故选：AC.
11. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，且，则（ ）

A. B.
C. D. 直线与平面ABCD所成的角为
【正确答案】ACD
【分析】A.利用空间向量的线性运算求解判断；B.利用空间向量的数量积运算求解判断；C.利用空间向量的模及向量数量积运算律求解判断；D.连接AC得到即直线与平面ABCD所成的角，利用余弦定理求解判断.
【详解】，A正确．
，B错误．
，故，C正确．
连接AC如图所示：

则即直线与平面ABCD所成的角，所以，，D正确．
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 是直线和直线垂直的_________条件.
【正确答案】充分不必要
【分析】求出两条直线垂直的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】直线和直线垂直等价于或，
所以是直线和直线垂直的充分不必要条件.
故充分不必要
13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，这是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由3根线组成（“”表示1根阳线，“”表示1根阴线），从八卦中任取两卦，则两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线的概率为______．

【正确答案】
【分析】根据题意，利用列举法写出样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】由题意可知，从八卦中任取两卦，
则样本空间{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，离），（乾，艮），
（乾，兑），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，离），（坤，艮），（坤，兑），（震，巽），
（震，坎），（震，离），（震，艮），（震，兑），（巽，坎），（巽，离），（巽，艮），（巽，兑），
（坎，离），（坎，艮），（坎，兑），（离，艮），（离，兑），（艮，兑）}，共包含28个样本点．
八卦中，3根都是阳线的有一卦，
2根阳线、1根阴线的有三卦，
1根阳线、2根阴线的有三卦，
3根都是阴线有1卦，
记事件“从八卦中任取两卦，这两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线”为A，
则{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，离），（巽，兑），（离，兑）}，共包含6个样本点，
故所求概率为
故答案为.
14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．
【正确答案】5
【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 有两个人从一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的．
（1）求这两人在同一层离开电梯的概率；
（2）求这两人在不同层离开电梯的概率．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）应用古典概型即可；（2）应用对立事件即可.
【小问1详解】
这两个人离开电梯的楼层分别可能为（2，2），（2，3），…，（2，8），（3，2），（3，3），…，（3，8），…，（8，2），（8，3），…，（8，8），共有49种情况．
这两个人在同一层离开的情况有7种，所以这两人在同一层离开电梯的概率为．
【小问2详解】
因为“这两人在同一层离开电梯”与“这两人在不同层离开电梯”是对立事件，所以这两人在不同层离开电梯的概率为．
16. 如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，．

（1）若，证明：平面．
（2）若与平面所成的角为，求三棱柱的体积．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）当时，；当时，.
【分析】（1）以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，证明直线方向向量和平面法向量共线即可；
（2）设，根据与平面所成的角为可得a，然后可得体积.
【小问1详解】
证明：如图，取的中点O，中点为，连接，由正三棱柱性质可知，两两垂直.
以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为为正三角形，所以.
则，，，，，
，．

设平面的法向量为，
则，令，得．
因为，所以，所以，
故平面．
【小问2详解】
解：设，由（1）中坐标系可得， ， ， ，，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得．
因为与平面所成的角为，，
所以，
解得或．
因为，
所以当时，；
当时，.
17. （1）一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线与反射光线所在直线的斜截式方程；
（2）直线l经过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的一般式方程．
【正确答案】（1）；；（2），，．
【分析】（1）根据斜率公式可得PQ的斜率，然后点斜式可得入射光线所在直线方程，根据反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，即可求得反射光线所在直线方程；
（2）分直线过原点和不过原点，不过原点时根据题意截距式方程，代入已知点可得.
【详解】解：（1）由P，Q两点坐标，可得直线PQ的斜率为，
所以入射光线所在直线的点斜式方程为，
其斜截式方程为．
因为反射光线与入射光线所在直线关于x轴对称，所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，
所以反射光线所在直线的斜率为3，所以反射光线所在直线的点斜式方程为，
其斜截式方程为．
（2）当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，
则，解得或，
若，则直线l的方程为，即；
若，则直线l的方程为，即．
综上所述，直线l的一般式方程可能是，，．
18. 如图，在四面体ABCD中，，，，，，E，F，G分别为棱BC，AD，CD的中点，点在线段AB上.

（1）若平面AEG，试确定点的位置，并说明理由；
（2）求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围.
【正确答案】（1）为AB的中点，理由见解析
（2）
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得平面AEG，再利用线面平行的性质定理得，即可确定点的位置；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面夹角余弦值的函数，利用二次函数知识求解余弦值的范围，然后利用余弦函数的单调性求解角的范围即可.
【小问1详解】
若平面AEG，则为AB的中点，理由如下：
因为E，G分别为BC，CD的中点，所以.
因为平面AEG，平面AEG，所以平面AEG.
若平面AEG，只需即可.
因为为AD的中点，所以为AB的中点.
【小问2详解】
过点D作平面ABC，垂足为，连接OE，OA.
设，因为，，
所以，，，
所以.
在中，，.
因为，所以，解得.
所以.
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，
过点作，垂足为，作，垂足为.
设，则，，所以.
则，，，
.
设平面AEG的法向量为，
则，令，则.
设平面CDH的法向量为，
则，令，则.
所以.
当时，.
当时，，令，
则.又函数在上单调递增，
所以，所以，
即.综上，
设平面AEG与平面CDH的夹角为，则，，
因为函数在上单调递减，所以，
所以平面AEG与平面CDH夹角的取值范围为.
难点点睛：本题考查了线面平行的判定及性质定理、以空间面面角的向量求法，解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而利用余弦函数的单调性得到其取值范围.
19. 若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标.
【正确答案】
【分析】由三角形面积之比得到点到直线的距离之比，从而得到直线和直线的交点为线段的三等分点，进而得到直线的方程，同理得到直线的方程，最后联立两直线方程求解点的坐标．
【详解】
由，它们有公共边，
故，到直线的距离之比为．
同理，，到直线的距离之比为，
边上靠近的三等分点为，即，
它与点连线的直线方程为．
边上靠近的四等分点为即，
它与点连线的直线方程为．
由，解得点坐标为