2024-2025学年山东省济宁市高二上册10月月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省济宁市高二上册10月月考数学质量检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知向量，，，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡规定的地方.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，平面的法向量为，若，则（ ）
A.B.3C.4D.5
2.如图，G是的重心，，，，则（ ）
A.B.
C.D.
3.已知向量，，，则（ ）
A.3B.9C.27D.81
4.已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A.B.C.2D.4
6.已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A.0B.5C.9D.
7.已知正三棱柱的侧面积是两底面积的倍，点E为四边形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数.用x表示第一次抛掷骰子的点数，用y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果.记“”为事件A，“”为事件B，“”为事件C，则（ ）
A.A与B相互独立B.A与B对立
C.B与C相互独立D.A与C相互独立
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确.
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
10.设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（ ）
A.B.C.D.
11.如图，在边长为1的正方体中，点E为线段的中点，点F为线段的中点，则（ ）
A.点到直线的距离为B.直线到直线AE的距离为
C.点到平面的距离为D.直线到平面的距离为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为______.
13.如图，平面ABFE与平面CDEF夹角为，四边形ABFE，CDEF都是边长为2的正方形，则B，D两点间的距离是______.
14.如图所示，在正方体中，，M是侧面内的动点，满足，若AM与平面所成的角，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知空间中三点，，，设，.
（1）已知，求k的值；
（2）若，且，求的坐标.
16.（本小题15分）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，.
（1）用，，表示，并求EF的长；
（2）求与夹角的大小.
17.（本小题15分）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个
（1）从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；
（2）从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.
18.（本小题17分）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角为直二面角.
（1）求证：；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
19.（本小题17分）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求两人在两轮比赛中都答对的概率；
（2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.
高二数学答案
1.【正确答案】A
【详解】因为，，
所以，即，解得.
故选：A.
2.【正确答案】D
是的重心，，，，
，，
，，，
，
故选：D.
3.A
【详解】向量，且，
则，解得，所以，
所以，
所以.
故选：A.
4.【正确答案】C
【详解】，，，
事件，是互斥事件，.
故选：C
5.B
【详解】由，，，四点共面，可知，即，
由，，，
当且仅当，即时等号成立，
故选：B
6.D解：因为，，
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使，即，
解得.故选：D
7.【详解】法一：如图所示，取的中点，连接，，
因为点为四边形的中心，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角就是异面直线与所成的角.
设该三棱柱的底面边长为2，正三棱柱的侧面积是底面积的倍，
则，
所以.连接，
则，，.
在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为，
法二：设，则由题得，所以.
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，
故，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
法三：设，则由题得，所以.
设，，，则，，，的夹角为，
，，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
8.【正确答案】D
【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；
其中事件包含的样本点有：
，，，，，共6个；
事件，包含的样本点有：
，，，，，，，，共9个，
事件，包含的样本点有：，，，，，，
，，，，，，
，，，，，共18个，
所以A与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故B错误；
因为A与不能同时发生，所以A与是互斥事件，则，
又，，所以，
所以A与不相互独立，故A错误；
事件包含的样本点有：，，，，，共6个，
因为，所以与不相互独立，故C错误.
又事件包含的样本点有：，，共3个，
所以，，则，
所以A与相互独立，故D正确；
故选：D
9.ACD
【详解】对于A：从中任取100件，可能有10件，A错误；
对于B：10000次的界定没有科学依据，"不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确。
对于C：多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；
对于D：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误；
故选：ACD.
10.AC
【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
，，
，
又，，
又为单位向量，，
联立，得或，
，，
.
故选：AC.
11.ABD
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
因为，，.
设，所以，
所以点到直线的距离为，故A正确.
因为，，所以，
所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离.，.
设，所以，
所以直线到直线的距离为，故B正确.
设平面的一个法向量，
又，，所以
取，则，，所以，
所以.
又，所以点到平面的距离为，故C错误.
因为，平面，所以平面，
所以到平面的距离即为点到平面的距离.
又平面的单位法向量，，
所以直线到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD
【详解】由题意可得反面朝上次数为，
所以设反面朝上为事件，则事件出现的频率为.
故0.52.
13【正确答案】
【详解】因为四边形、都是边长为2的正方形，则，，
又平面与平面夹角为，即，则，
因为，由图易知，，
所以
，
即，两点间的距离是.
故答案为.
14.【正确答案】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
设，
则，，
因为，
所以，
所以，则，
因为平面，
所以即为AM与平面所成角，即，
则，
所以当时，取得最大值.
故答案为.
15.（1）
（2）或
【详解】（1）因为，，，，，
所以，，，3
又 ，所以 ，得到 6
（2）因为，又，所以，10
解得或 ，
所以的坐标为或.
16.（1），
（2）
【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，且，，，
可得
，4
因为正四面体的棱长为1，则，且，
可得
，9
即，所以的长为.10
（2）由题意得
，12
因此
，14
即，即与的夹角为15
17.（1）
（2）
【详解】（1）设甲袋中的红球为，，白球为，篮球为，
乙袋中的红球为，白球，篮球为，，
则从两袋中各取一球，所有基本事件如下：
，，，，，，，
，，，，，，，
故基本事件的总数为16.3
设A为“取到的两球颜色相同”，则A含有的基本事件如下：
，，，，5
共5个基本事件，则.7
（2）如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下：
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
基本事件的总数为24，10
设为“取到至少一个红球”，其对立事件设为，则为“没有取到红球”，
含有的基本事件如下：，，，共有3个，13
故，故.15
18.（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）因为，O为的中点，
所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为，，，所以.
取的中点，连接，则，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴,
如图建立空间直角坐标系 ，4
则 ，，，，，.
，，
因为，5
所以.
（2）设平面的一个法向量为，
则，即，7
解得，令，则，则.9
设直线与平面所成的角为，
又，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.10
（3）设平面的一个法向量为，
则，即，12
解得，令，则，故.14
设平面与平面的夹角为，
则.
故平面与平面的夹角的余弦值为.17
19.（1）
（2）
（3）.
【详解】（1）依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”，
所以，，因为事件，N相互独立，
所以两人在两轮比赛中都答对的概率为.5
（2）设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”，
“甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”，
“两人在两轮比赛中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，
可得
.
故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为.
（3）设事件，分别表示甲三轮答对2个，3个题目，
，分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，，
，，
设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且，，，分别相互独立，
所以.17
所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为