山东省济宁市2024_2025学年高二数学上学期10月阶段性测试试题含解析

这是一份山东省济宁市2024_2025学年高二数学上学期10月阶段性测试试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线经过两点，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.
【详解】由，得的斜率为．
故选：A
2. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.
【详解】向量，则，
因，于是得，解得，
所以.
故选：B.
3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解.
【详解】因为，所以，可化简为：，即，
由于，，，四点共面，则，解得：；
故选：C
4. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解．
【详解】由题意，直线，
令，解得，故；令，解得，所以．
故选：B．
5. 若向量且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A. 2B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量夹角余弦公式列出方程，求出.
【详解】，显然，
则，两边平方后化简得，解得，正值舍去.
故选：D
6. 直线过点，且方向向量为，则（ ）
A. 直线的点斜式方程为B. 直线的斜截式方程为
C. 直线的截距式方程为D. 直线的一般式方程为
【答案】D
【解析】
【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2．
因为直线过点，
所以直线的点斜式方程为，
其一般式为．故A错误，D正确；
化为斜截式：，故B错误；
化为截距式：，故C错误.
故选：D
7. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于的方程，确定的值，即可求解.
【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，．

设平面的法向量为，
则
令，得．
设，则．
因为平面，所以，
则，解得，．
故．
故选：D
8. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得.
【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，
则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

于是，，
又为的中点，则，，,，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于B，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
故选：ABD.
10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或，
当时，可得直线的方程为，即；
若时，可得则直线的方程为，即．
故选：BCD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点P，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则P的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D.
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则
对于B，，使得与所成的角满足：
，
因为，故，故，
而，B错误；
对于C，平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，故
故，
而，，
故即的取值范围为，C正确；
对于D，，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：恒过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】将方程化为，通过方程组，即可 .
【详解】由，
可得：
令解得：，
故答案为：
13. 已知点，直线l过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】画图，结合图象即可求解
【详解】
因为
结合图象可知直线的斜率的取值范围是
故答案为：
14. 如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时___________．

【答案】##60
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求二面角的方法求解．
【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，即，
当最小时，，，
所以，所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为.
（1）求的一般式方程；
（2）若直线经过点，且，求的方程.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，在根据两点求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可；
（2）根据平行直线直线系方程假设出直线，再由直线经过点求出直线方程.
【小问1详解】
由的三个顶点为，且为的中点，
可得，即，则，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知，直线的方程为，
因为，可设直线的方程为，
直线经过点，可得，解得，
所以直线的方程为.
16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.

（1）试用表示向量；
（2）若，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示；
（2）利用向量的数量积运算求解向量的模.
【小问1详解】
，
又，，，
∴．
【小问2详解】
因为，．
，．，
，
，
．
17. 已知，，，，，
（1）若、共线，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可；
（2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，，，，，
则，可得，，解得，
所以，，所以，，
因为，所以，解得．
【小问2详解】
解；由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，
所以实数的范围为．
18. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
【小问2详解】
连接，显然，因为， ．
所以，于是，
因为平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，
设平面的法向量为，
，
则有，
，
点到平面的距离为：
19. 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．

（1）是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
（2）若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
（3）求三棱锥的外接球半径的最小值．
【答案】（1）存在点G为的中点，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）存在一点G，当点G为的中点，连接，利用三角形中位线和平行线的传递性得到，再利用线面平行的判定即可证明结论；
（2）首先根据题意得到，再求出，根据计算即可；
（3）建立空间直角坐标系，首先确定球心在上，设外接球球心为，设，，得出的坐标，设，由，得出，求出的范围，再由即可求出的最小值．
【小问1详解】
存在一点G，当点G为的中点，使得面，
连接，如图所示：

∵点分别是中点，，
又，且，
∴四边形是平行四边形，，，
又∵平面，且平面EFG，∴平面．
【小问2详解】
取的中点，连接，，由题意可知，平面，且，
是直线与平面所成的角，即，

在中，，
∴在中，，
又
，
．
【小问3详解】
以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，

则，
所以，，
因为，，
所以，即，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球球心为，
设，，则坐标为，
设，
则，即，
所以，
设，则，则，
而，当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，
三棱锥的外接球的半径
，
因为，所以，所以，
三棱锥的外接球半径的最小值为．