专题4-2 向量四心及补充定理综合归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

这是一份专题4-2 向量四心及补充定理综合归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题4-2向量四心及补充定理综合归类原卷版docx、专题4-2向量四心及补充定理综合归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25514" 题型01 “奔驰定理” PAGEREF _Tc25514 \h 1
\l "_Tc4073" 题型02 极化恒等式 PAGEREF _Tc4073 \h 5
\l "_Tc16070" 题型03极化恒等式求最值范围 PAGEREF _Tc16070 \h 7
\l "_Tc16589" .题型04等和线题型：基础 PAGEREF _Tc16589 \h 10
\l "_Tc21137" 题型05等和线题型：型 PAGEREF _Tc21137 \h 13
\l "_Tc19115" 题型06 等和线题型：型 PAGEREF _Tc19115 \h 16
\l "_Tc15194" 题型07 等和线题型：分数型 PAGEREF _Tc15194 \h 20
\l "_Tc31433" 题型08 等和线题型：与数列 PAGEREF _Tc31433 \h 24
\l "_Tc29369" 题型09奔驰定理与重心型轨迹 PAGEREF _Tc29369 \h 27
\l "_Tc26651" 题型10 三角形四心向量：内心 PAGEREF _Tc26651 \h 29
\l "_Tc12431" 题型11 三角形四心向量：外心 PAGEREF _Tc12431 \h 32
\l "_Tc23768" 题型12 三角形四心向量：重心 PAGEREF _Tc23768 \h 35
\l "_Tc2239" 题型13三角形四心向量：垂心 PAGEREF _Tc2239 \h 38
\l "_Tc28084" 题型14向量点域综合 PAGEREF _Tc28084 \h 41
\l "_Tc21512" 高考练场 PAGEREF _Tc21512 \h 44

题型01 “奔驰定理”
【解题攻略】
【典例1-1】（2022春·全国·高三模拟）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．
【详解】解：为三角形内一点，且满足，
，
．
，
故选：D．
【典例1-2】已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
四川省三台中学2021-2022学年高三4月质量检测数学试题
【答案】D
【分析】
先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比
【详解】
解：，，如图：
，
，
、、三点共线，且，为三角形的中位线
，而
，，的面积之比等于故选：．
【变式1-1】如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且 。解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为 故选D
【变式1-2】已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设AD的中点为E，以为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E为中点，得到为平行四边形，再根据可得四边形为矩形，于是得到四边形ABCD为直角梯形，进而可得所求的面积．
【详解】取AD的中点E，以为邻边作平行四边形AECB，如图所示，
则有，又，∴，∴四边形为平行四边形，
又BE为等边的中线，∴，∴平行四边形BCDE是矩形，
∴四边形ABCD是直角梯形．又，
∴，∴四边形ABCD的面积为．
故选A．
【变式1-3】是所在平面上的一点,满足,若,则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
∴，且方向相同．
∴，
∴．选A．
题型02 极化恒等式
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江苏·高三专题练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
【答案】D
【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.
【详解】由题设，，，
.
故选：D
【典例1-2】如图,在中,已知,点分別在边上,
且,若为的中点,则的值为________
解：取的中点,连接,则,
在中,,
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝________．
答案 eq \f(3,2)；解析 连结EG，FH，交于点O，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \(GO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，因此eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)．
【变式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先用，两个向量表示，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】
，
，
因，所以，
又，所以，故选：B
【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．

故选：C.
题型03极化恒等式求最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】如图,在平面四边形中,,则的最大值为____
解：取的中点,连接,
由,
由四点共圆,且直径为.
则.
所以.
【典例1-2】已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为_________．
解：取的中点N，连结，取其中点D，如图所示，则：
．
当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．由外接圆半径为1，可求得，从而．所以的最小值是，故所求最小值为．
【变式1-1】在锐角中，已知，则的取值范围是____________．
解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取的中点为M，立即可得等式，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于“锐角”两个字，锐角的极限状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．
如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时；
过点C作，垂足为C，此时，，
因此，故取值范围是．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则
所以得，所以，，
所以直线方程为，圆的方程为，所以，，
的中点，
则
因为，
所以
故，所以的最大值为
故答案为：
【变式1-3】半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，
则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，
因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
.题型04等和线题型：基础
【解题攻略】
【典例1-1】.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A.3 B. C. D.2
答案：A
解：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时
有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则
【典例1-2】已知在内，且，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，得到对应的结果.
【详解】
如图，
设BO与AC相交于D，则由，可得，
设CO与AB相交于E，则由，可得，
因B,O,D三点共线，故存在实数m，
使，
因C,O,E三点共线，故存在实数n，使得
，
所以，解得，
，所以，，
故答案是：.
【变式1-1】在△ABC中，∠BAC=，以AB为一边向△ABC外作等边三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，则____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
以A为原点建立直角坐标系，则设，， ，,则，根据三倍角公式建立方程可求出m,利用点的坐标运算求出 即可.
【详解】
如图建系，
设，则，
根据三倍角公式，有，
于是
也即
解得，于是
从而.
【变式1-2】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求,
【详解】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,
过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,所以,当Q在BC的下方时, ;
当Q在BC上时,,当Q在BC的上方时,,
根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值为：．故选：C．
【变式1-3】如图，A、B、C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则λ+μ的取值范围是
A．(-∞,-1)B．(-1,0)C．(0,1)D．(1,+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由C,O,D三点共线且点D在圆外可设，再由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，然后结合三角形法则可得，进而可得， 所以得到，从而
，最后将其与已知向量式对比即可求出λ与μ，据此问题即可解答．
【详解】
由点D是圆O外一点且C,O,D三点共线，可设，
由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，又，∴，
∴，∴．
又，∴，∴．故选B．
题型05等和线题型：型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）O是的外心，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上.
【详解】当在上，则为的中点，满足，符合题意，
∴，则；
当不在上，取的中点，连接，则，
则，
同理可得：
∵，
，
联立可得，解得，故选：D.
【典例1-2】在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为．
【详解】
如图，设，，
则：；
又；；；
的最大值为．故选B．
【变式1-1】（2022春·江苏无锡·高三江苏省天一中学校考）在中，，，，为的外心，若，、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.
【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且，
，
同理可得，
，
由，可得，即，
解得，，因此，.故选：C.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ．
【答案】/2.5
【分析】构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设且()，由向量线性关系的坐标表示列方程得到关于的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.
【详解】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，
构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示：
所以，，，令且()，
所以，，，
又，即，
所以，而，
则，
故当时，有最大值.故答案为：
题型06 等和线题型：型
【解题攻略】
【典例1-1】如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：以 点为坐标原点，方向为 轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为 ，由意可知： ，
据此可得： ，则： ，目标函数： ，
其中 为直线系 的截距，
当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 .
当直线过点 时，目标函数取得最小值 ，则的取值范围是 .本题选择B选项.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可.
【详解】解：如图所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.
又因为，
所以，
即有：，即，所以，
设，可得，又因为为锐角三角形，所以，
所以，设，则有，
所以==，
所以故选：A.
【变式1-1】（2022·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知,
设，由得：，即 ,
则，
由可得：，则，故.
则的取值范围是 .
故选：C
【变式1-2】（2019·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是 ．
【答案】（﹣2，0）
【分析】由，得，结合条件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出实数λ的取值范围，由此可计算出m﹣n的取值范围．
【详解】由，可得，所以，，则m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，
由于mn＞0，则（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得，
∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）
【变式1-3】（2022秋·山东青岛·高三统考）将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是 ．
【答案】
【详解】如图所示：设且，由题意知，当 取最大值时，点与点重合．中，由余弦定理
求得
又 ，
故答案为
题型07 等和线题型：分数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·辽宁大连·大连八中校考一模）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.
【典例1-2】（2023春·江苏南通·高三江苏省南通中学校考阶段练习）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由sinB=csA•sinC化简可求 csC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccsA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值．
【详解】中设，，，，
即，，
，，，，
，，，根据直角三角形可得，，
，，，
以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，
则存在实数使得,
设，，则，，,
,
，则,
,
故所求的最小值为,故选：D.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且，点F为线段BD上的一动点（包含端点），若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由向量加法法则可得，根据F为线段BD上的一动点（包含端点）有且、，构造并利用导数研究单调性，进而确定值域，即可得结果.
【详解】由，
所以且，结合目标式有，，，
，（舍），
故在、上递减，在上递增，
当时，当时，
所以．故答案为：
【变式1-2】（2023春·内蒙古乌兰察布·高三校考）已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得到x、y的关系式，再由题给条件得到关于m的不等式，利用均值定理即可得到实数的取值范围.
【详解】以C为原点分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系如图：
则，则
则，又点P在直线：上，则有，即由恒成立，
可得恒成立，由，可得
则（当且仅当时等号成立）又，，则
则，则，则，
则实数的取值范围是故答案为：
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ；与周长之比的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】连接AG并延长，交BC于F，可得，变形可得，根据D、G、E三点共线，即可得答案；设的边长为1，设与周长之比，可得，根据余弦定理，可求得表达式，代入可得，根据的范围，可得的范围，利用导数，结合的范围，即可得答案.
【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示由题意得，F为BC中点，
所以，又G为重心，所以，所以，即，因为D、G、E三点共线，所以，即.设的边长为1，设与周长之比，则，在中，由余弦定理得，所以，即，
所以，由（1）可得，即代入上式，可得
由题意得，所以，又，所以，
又，所以，因为，所以，令，则，
令，则，所以在上为增函数，
所以，所以与周长之比的取值范围为
题型08 等和线题型：与数列
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的3倍，数列满足，，当时，恒有，则数列的前6项和为（ ）．
A．2020B．1818C．911D．912
【答案】D
【分析】连接交于点，根据，得，则，
再根据，设，，，转化为，根据与不共线，得到，即，变形为，由等比数列的定义得到 是等比数列，得到通项公式，再用累加法得到，然后用分组求和法求解.
【详解】如图，连接交于点，
由，得，，
设，，，
，又与不共线，
所以，则，即，所以，所以，
即，所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以，由，，…，，
累加得，所以，
所以．故选：D．
【典例1-2】（2022秋·安徽合肥·高三阶段练习）如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算、共线向量的表示和等差数列的判定得出数列和的关系.
【详解】因为，所以，所以，
因为，且，
所以，得，所以，
又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以.故选：B.
【变式1-1】．（2022秋·河北石家庄·高三正定中学阶段练习）如图，已知点为 的边 上一点， ， 为边 上的一列点，满足 ，其中实数列 中， ， ，则
A．46B．30C．242D．161
【答案】D
【详解】因为 ，所以，设 ，，又因为， ， 以 ，又 ，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，,故选D．
【变式1-2】（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项 .

【答案】
【分析】由结合共线向量定理的推论可得，则可求得，再由可得，从而得，则得，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】因为，所以，
因为三点共线，所以，所以，
因为，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，因为，所以，
所以，因为，
所以因为，所以，
所以，
故答案为：
题型09奔驰定理与重心型轨迹
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·高三专题练习）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】A
【分析】设边的中点为，则，进而结合题意得，再根据向量共线判断即可.
【详解】解：根据题意，设边的中点为，则，
因为点满足，其中
所以，，即，
所以，点的轨迹为的中线，
所以，点的轨迹一定经过的重心.
故选：A
【典例1-2】（2022春·重庆·高三统考）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的
A．重心B．外心C．垂心D．内心
【答案】A
【分析】作，根据，结合求解.
【详解】如图所示：
作，
因为，
所以，
由加法法则知，在三角形的中线上，
所以动点P的轨迹一定经过的重心，
故选：A．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．AB边的外心
【答案】C
【分析】根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过的重心．
【详解】取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，
∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选：C
【变式1-2】（2023春·全国·高三专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】B
【分析】设出的中点，利用向量的运算法则化简；据向量共线的充要条件得到在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
.
题型10 三角形四心向量：内心
【解题攻略】
【典例1-1】（2020春·山西运城·高三临猗县临晋中学校考开学考试）为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量。所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心。故选B
【典例1-2】（2022秋·重庆·高三重庆一中校考）已知为的内心，，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
其中BC=a、AC=b、AB=c，将O点取作A点带入得到
，故
由余弦定理得到 ，
又因为 ，最终求得 ，故 ．
故答案选D.
【变式1-1】（2021春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．若是的重心，则B．若是的内心，则
C．若是的垂心，则D．若是的外心，则
【答案】B
【分析】根据三角形各心的性质求出对应的之间的比值，即可得出答案.
【详解】如图，设，直线与直线交于点，因为，
所以，则，即，
过作分别平行于，则，而，，由平行线分线段成比例得，
同理，所以；
若是的重心，则为的中点，所以，故A正确；
若是的内心，则直线平分，而，，
所以分的比，故B不正确；
若是的垂心，如图，则点与点重合，则，故C正确；
若是的外心，因为，所以线段AB的中垂线的斜率为，且AB的中点为，
所以线段AB的中垂线的方程为，即，
又线段BC的中垂线为，
联立，解得，所以，，由于，，所以，则，故D正确，故选：B.
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）设为的内心，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.
【详解】取的中点，连，因为，，所以，，
所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，
所以，所以，得，
所以，所以，又，所以，
又已知，所以，所以.
故选：B.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
【答案】B
【分析】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出是的内心.
【详解】过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示，
由于，
根据奔驰定理就有：
，
即，
因此，故点是的内心，B选项正确.
故选：B

题型11 三角形四心向量：外心
【解题攻略】
【典例1-1】（2021春·湖北武汉·高三统考）中，，点为的外心，若，则实数 ．
【答案】/
【分析】利用余弦定理可求出角的余弦值，再利用向量的投影求出和的值，从而对两边同时点乘，得到关于的方程组，从而得解.
【详解】记的中点分别为，连接，如图，

则，
因为在中，，
由余弦定理，得，
所以，
，
，
因为，所以，
所以，解得，所以.故答案为：.
【典例1-2】（2023春·广东珠海·高三统考）在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则 .
【答案】
【分析】先求出，由，，两边平方，结合及数量积的定义直接求解.
【详解】如图，
设的外接圆半径为，由正弦定理，则，
又因为，，分别为，，的中点，
所以，，，
三式平方相加可得，
又因为，代入得结果为.
故答案为：.
【变式1-1】（2023春·湖北武汉·高三校联考阶段练习）设的外心为，且满足，，则的面积为 .
【答案】/
【分析】设的外接圆的半径为，根据平面向量的数量积的运算法则，求出两向量的夹角，判定为等腰三角形，由此求得的面积.
【详解】设的外接圆的半径为，因为，所以，
即，解得，又因为，可得，
又由，可得,
解得，因为，可得，同理可得，
由圆的性质知，，所以为等腰三角形，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，
所以的面积为.
故答案为：.
【变式1-2】（2023春·山东青岛·高三统考）记的三个内角的对边分别为，，，且，，若是的外心，则 ．
【答案】
【分析】作于，于，根据向量数量积的几何意义，，即可得到答案.
【详解】如图： 作于，于，
∵圆中，，∴，因此，
同理可得，∴.
故答案为:.
【变式1-3】（2023春·广东汕头·高三金山中学校考已知为的外心，若 ，则最小值 .
【答案】
【分析】利用外心的性质，向量的数量积运算得到，再利用余弦定理求出，利用基本不等式求最值.
【详解】∵为的外心，若，∴,
∴，∴,
即，即，∴,
当且仅当时取等号，∴的最小值为.故答案为:.
题型12 三角形四心向量：重心
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为
A．1B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先根据条件解△ABC可得：C和△ABC外接圆的半径R，由此建立直角坐标系，可得：.A（，0），B（，0），外心O为（0，），重心G.从而求得|OG|2sinθ，即可得解.
【详解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+csB），
∴sin（B+C）=sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，化为：sinBcsC=sinCsinB，sinB0，
∴csC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圆的半径R .
如图所示，建立直角坐标系.A（，0），B（，0），O（0，）.
△ABC外接圆的方程为：x2.设C（csθ，sinθ）.θ∈（0，π）
则G.|OG|2sinθ，
∴|OG|的最小值为：.故选：D.
【典例1-2】（2022春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）已知点为的重心，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三角形重心的性质可得，，由向量数量积的定义可求得，然后根据向量数量积的性质可得|，结合基本不等式可求的最小值.
【详解】如图所示，设的中点为，
由三角形重心性质可得，
又为中点， ，，
则.
又，，由向量的数量积定义可得，
，.
，当且仅当时等号成立，即的最小值.
故选：C.
【变式1-1】（2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知中，为的重心，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的数量积公式进行计算即可求得结果.
【详解】因为中，为的重心，
所以 ，由余弦定理可得：
且
所以
=
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为
A．或B． 或
C．或D．或
【答案】B
【解析】利用面积之比，转化为的方程，解方程即可.
【详解】设,因为G为的重心，所以,即.
由于三点共线，所以，即.
因为，，所以，即有，解之得或.故选B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点是的重心，，若，，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解的最小值即可.
【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,
，
根据向量的数量积的定义可得,
设，则，
，
当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.
综上可得的最小值是.
本题选择C选项.
题型13三角形四心向量：垂心
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵是的垂心，延长交与点，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量,得。。
即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，故选D.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（ ）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
【答案】C
【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可.
【详解】解：取BC的中点D，如图所示，
连接OD，AM，BM，CM．因为，
所以，又，则，所以，
又由于为的外心，所以，因此有．同理可得，，
所以点是的垂心．故选：C．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，即，解得，
，又，所以．
故选：C．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】C
【分析】令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，
再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.
【详解】设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，
由B，C，D三点共线可得：，于是有，
则
，
在中，，则，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理有，于是得，
因此，，
所以2021故选：C
题型14向量点域综合
【典例1-1】如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是
A．B．
C．4D．5
【答案】B
【详解】试题分析：如图,过作
,,因此面积为,故选B.
【典例1-2】如图，A、B分别是射线上的两点，给出下列向量：①;②；③；④；⑤这些向量中以O为起点，终点落在阴影区域内的是________（填序号）．
【答案】①③
【分析】设，证明当点P落在阴影区域内时，满足：且，对照各个条件一一验证即可.
【详解】
设.
当点P在线段AB上时，过点P分别作PE∥OA，PF∥OB分别交OB、OA于点E、F.
则。
同理可得：当点P落在阴影区域除了线段AB上时，.
因此当点P落在阴影区域内时，满足：且.
据此可知:只有①③满足条件.
故答案为：①③
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
山东省滨州市2019—2020学年下学期高三年级期末考试数学试题
【答案】D
【分析】分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点的个数.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个；
②若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个.
综上所述，满足题中条件的点的个数为.
故选：D.
【变式1-2】如图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且，当时，y的取值范围是________
【答案】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，得到的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的范围．
【详解】解：如图，，点在由射线，
线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，
该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，
的取值范围是；
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，，
的取值范围是，．故答案为： ，
【变式1-3】在中，，，D是内切圆圆心，设P是外的三角形区域内的动点，若，则点所在区域的面积为______.
江苏省盐城市东台创新高级中学2019-2020学年高三上学期11月检测数学试题
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求出内切圆半径，求出点所在区域面积，利用与点坐标间的关系可求得所要求的面积
【详解】以为原点，为轴，为轴建立如图所求的平面直角坐标系，
∵，，∴，
∴内切圆的半径为，
则圆外的外部的面积为，
，
∴点所在区域面积为，
而点所在区域面积为点所在区域面积的，面积为．
故答案为：．
高考练场
1.已知等边边长为4，为其内一点，且，则的面积为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵，∴．如图所示，
延长到点，使得，分别以为邻边作平行四边形，则，又，可得，∴，∴，∴，故选B.
2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值为________．
答案 eq \f(7,8)；解析 极化恒等式法 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4， eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8)．因此eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8)．即eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8)．
3.设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，sin∠PAC的值为____．
【答案】
【解析】取边的中点为，连接线段，设正三角形的边长为
由极化恒等式可得：，
则当取最小值时，也取最小值，
又，此时，点在上靠近的四等分点，
在中，余弦定理可得，
由正弦定理可得：
4.如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】取AB的中点设为O，则，
当O、P、C共线时， PO取得最小值为；
当P 与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2，
所以的取值范围是.
5.直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，可设，因为，所以
， ，即的最大值为故答案为.
6.（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知为锐角三角形的外心，若，，则的最大值 .
【答案】
【分析】设外接圆的半径为，,求出，，在两别分别乘以，可表示出，利用基本不等式可求出最值.
【详解】设外接圆的半径为，,如图，
，，
可得，
同理可得，
在两别分别乘以得
，整理得，
，
当且仅当，即等号成立,则的最大值为.故答案为：.
7.（2022秋·吉林松原·高三统考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是 ．
【答案】[﹣1，1]．
【详解】试题分析：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（csα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（csα，sinα）（0°≤α≤90°），
∵=λ+μ，∴（csα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴csα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，
∴λ=（3sinα﹣csα），μ=（csα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣csα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，
∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为[﹣1，1]．
8.（2023·全国·高三专题练习）如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，，设，，然后根据得，再设，，，根据，表示出，进而表示出，换元之后利用基本不等式求解最值.
【详解】以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则．
由可得，所以可设，，．
因为，由可得，，
所以．设，，
则，
即当时，取最大值，最大值为．故答案为：.
9.（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和 ．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算平面向量基本定理可得，令，进而可得为等比数列，再利用求和公式即得.
【详解】由于D是AC边上一点，且，则，
由于为直线AB上一点列，则．
因为，则，故，
整理，即，故，
令，则，即，因此，，
所以为等比数列，，则，
故．
故答案为：
10.（2023·全国·高三专题练习）过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心B．重心C．外心D．内心
【答案】B
【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，故选B.
11.（北京·高三强基计划）在中，，I为的内心，若，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据内心的向量形式可得，故可求的值.
【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据内心的性质可知，
于是，
于是．故选：C.
12.（2023春·云南大理·高三统考）在中，为其外心，，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据向量的模长公式，结合外心的性质即可求解.
【详解】由可得，平方可得,
由于为外心，所以，
所以,
故答案为：
13.（2021秋·河南南阳·高三校考阶段练习）已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据三点共线得到，也就是，再利用得到，最后利用基本不等式求的最小值.
【详解】
因为三点共线，故，因为，所以，又为重心，故，而不共线，所以，也即是.
，由基本不等式可以得到：
，当且仅当等号成立，故的最小值为，故选D.
14.（2023春·广东东莞·高三东莞市厚街中学校考阶段练习）点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】C
【分析】对题目的式子两边乘以，得到所在直线为高所在直线，即可．
【详解】处理原式得到
故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C．
15.如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：①；②；
③；④；⑤
若这些向量均以为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有
A．①②B．②④C．①③D．③⑤
【答案】B
【详解】试题分析：在上取使，以为邻边作平行四边形，其终点不在阴影区域内，排除选项；取的中点，作，由于,所以的终点在阴影区域内；排除选项，故选．
奔驰定理：
为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]
极化恒等式的模型：
平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．
三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由.
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
等和线基础：系数为1型
形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值。可构建直角坐标系并设且()，应用平面向量线性关系的坐标表示求得关于参数的函数式求最值.
形如，求值或者范围，有如下思维：
如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
形如，求值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线或者， 然后对采用均值不等式中的“1”的代换技巧。
向量型求动点轨迹：
利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为内心，则；
设是内一点且；
若为外心，则
；
重心四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为重心，则；
解决该类问题常用如下方法：
（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形；
（2）利用向量，结合向量的数量积进行求解；
（3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为垂心，则.