专题3-8 向量三大定理及四心难题14题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
二、等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
（1）、当等和线过点时，；
（2）、当等和线恰为直线时，；
（3）、当直线在点和等和线之间时，；
（4）、当等和线在点和直线之间时，；
特殊的：若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
三、基底与斜坐标系
在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.
四、奔驰定理
奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.
注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于
证明：如图，令，即满足
，，，故.
四、奔驰定理与三角形四心
定理：如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则.
五、极化恒等式
极化恒等式：.
说明：
（1）极化恒等式的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．
（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.
（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
热点考题归纳
【题型一】等和线：和系数为1型 ：
【典例分析】
1.在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.在平行四边形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为
A．1B． C．D．3
2.已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A．B．C．D．
3.已知的内角的对边分别为，且.M为内部的一点，且，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【题型二】等和线：和系数不全是1型
【典例分析】
1.（2021·高二单元测试）已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021春·上海·高一专题练习）如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2019秋·浙江·高三温州中学校联考阶段练习）已知正三角形的边长为，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高一专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型三】等和线：分数型
【典例分析】
1.如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（ ）
A．4B．C．D．2
2.（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考开学考试）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .

【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2019·天津·高三天津市第七中学校考阶段练习）已知向量，，且，若x，y均为正数，的最小值是 .
2.（2023春·陕西西安·高一西安市第六中学校联考阶段练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为 .
3.（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为 BD上一点，且满足（为正实数），则的最小值为 .
【题型四】等和线：系数差型
【典例分析】
1..上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·重庆·高二统考开学考试）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·浙江宁波·高三镇海中学校考期中）已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为_____．
2.在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是___．
3.（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）在平行四边形中，，.若，则 .
【题型五】等和线：系数积型
【典例分析】
1.（2023春·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期末）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2014·重庆·高三阶段练习）如图，已知是以原点为圆心，半径为的圆与轴的交点，点在劣弧（包含端点）上运动，其中，，作于．若记，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2018·新疆乌鲁木齐·统考一模）在中，，，是的外心，若，则 .
2.（2020春·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、、、的面积分别为，，，，记，，，则取最大值时，的值为 .
【题型六】等和线：系数比值型
【典例分析】
1.（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考阶段练习）设向量,其中.若,则的最小值为 .
2.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
【变式演练】
1.（2023春·江苏·高一专题练习）在中，，，若（，均大于0），则的值为 .
2.（2018·广西玉林·高三陆川中学开学考试）在中，,是的内心，若，则
A．B．C．D．
【题型七】等和线：系数二次型
【典例分析】
1.（2019秋·云南昆明·高三云南师大附中阶段练习）已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为
A．B．C．D．
2.（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 .
2.．（2022·上海·高三专题练习）设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 .
【题型八】轨迹型
【典例分析】
1.（2019秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考开学考试）在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021春·上海·高一期中）在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·黑龙江双鸭山·高二校考期中）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ；
2.（2023春·河南郑州·高一郑州外国语学校校考阶段练习）在中， ，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为 ．
【题型九】奔驰定理
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
2.（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（ ）
A．O为的外心B．
C．D．
2.（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【题型十】四心：外心
【典例分析】
1.（2023秋·浙江·高二校联考开学考试）为的外心，且，则的内角的余弦值为 .
2.（2021春·江西赣州·高一赣县中学校考阶段练习）在中点是的外心，则 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2019·全国·高三校联考阶段练习）在中，为外心，.且，.则 .
2.（2019·安徽·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，，，则周长的取值范围是 ．
3.（2021春·上海·高一专题练习）已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 .
【题型十一】四心：内心
【典例分析】
1.（2023秋·四川宜宾·高二校考开学考试）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2.（2022秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考开学考试）在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020·全国·高三专题练习）已知是所在平面内一点，且满足，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
2.（2023·全国·高三专题练习）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3.（2021秋·河北保定·高三定州一中阶段练习）已知三角形， ， ， ，点为三角形的内心，记， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
【题型十二】四心：垂心
【典例分析】
1.（2023春·浙江绍兴·高一校考期中）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
2.（2021春·辽宁沈阳·高一统考期中）的外接圆的圆心为，垂心为，，则的取值为
A．-1B．1C．-2D．2
3.（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）已知在中，，是的垂心，且满足，则的面积（ ）
A．B．8C．D．4
【题型十三】四心：重心
【典例分析】
1.（2023春·江苏南通·高三校考期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．垂心C．外心D．重心
2.（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（ ）
A．内心B．垂心C．重心D．外心
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心B．重心C．外心D．内心
2.．（2024秋·福建福州·高三福建省福清第一中学校考阶段练习）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）设G为△ABC的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．（－80，160）B．（－80，40）
C．（－40，80）D．（－160，80）
【题型十四】极化恒等式
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（ ）
A．4B．8C．D．
2.已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为_______.
【提分秘籍】
【变式演练】
1. 半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
3.已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．
高考真题对点练
1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
3．（·福建·高考真题）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
4．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
5．（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
6．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
7．（安徽·高考真题）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 .
8．（2017·江苏·高考真题）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则 ．

9．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
10．（北京·高考真题）已知点，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为 .
最新模考真题
1.如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）已知A，B，C为圆O（O为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时， .
3.（2023秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）在中，E为的中点，是线段BE上的动点，若，则的最小值为 .
4.（2019·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·全国·高三专题练习）在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且，，AE与BD交于O点，若，则mn的值为 .
6.（2018春·重庆·高一重庆巴蜀中学阶段练习）为的外心, ,.若，则
A．1B．-1C．D．-
7.（2018·四川德阳·统考一模）如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为 ．
8.（2023春·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习）在中，，，，角是锐角，为的外心，若，其中，则点的轨迹所对应图形的面积是 ．
9.（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的lg非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（ ）

A．若，则
B．若，则
C．若为的内心，且，则
D．若为的垂心，则
10.（2021·高一课时练习）已知满足，，是的外心，且，则的面积是 .
11.（2021·广西玉林·高三陆川中学开学考试）在中，,是的内心，若，则
A．B．C．D．
12.．（2021·全国·高三专题练习）若是垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
13.（2023·全国·高三专题练习）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14. 在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cs∠ACB＝ ．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 等和线：和系数为1型
【题型二】 等和线：和系数不全为1型
【题型三】 等和线：分数型
【题型四】 等和线：系数差型
【题型五】 等和线：系数积型
【题型六】 等和线：系数比值型
【题型七】 等和线：系数二次型
【题型八】 轨迹型
【题型九】 奔驰定理
【题型十】 四心：外心
【题型十一】四心：内心
【题型十二】四心：垂心
【题型十三】四心：重心
【题型十四】极化恒等式
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值
形如，求值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线或者， 然后对采用均值不等式中的“1”的代换技巧。
形如，求值或者范围，有如下思维：
如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系；
（3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
向量型求动点轨迹：
利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.
注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于
证明：如图，令，即满足
，，，故.
设是内一点且；
若为外心，则；
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为内心，则；
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为垂心，则.
四心的向量统一形式：设是内一点且；
若为重心，则；
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: