专题5-1 等差等比性质综合（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

这是一份专题5-1 等差等比性质综合（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题5-1等差等比性质综合原卷版docx、专题5-1等差等比性质综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc32231" 题型01 等差数列单调性 PAGEREF _Tc32231 \h 1
\l "_Tc1616" 题型02等比数列单调性 PAGEREF _Tc1616 \h 2
\l "_Tc13114" 题型03等差数列不等式正负分界 PAGEREF _Tc13114 \h 3
\l "_Tc26493" 题型04等比数列“1”比较型不等式 PAGEREF _Tc26493 \h 3
\l "_Tc12639" 题型05等差数列“高斯”性质 PAGEREF _Tc12639 \h 4
\l "_Tc6315" 题型06 等比数列“高斯”性质 PAGEREF _Tc6315 \h 5
\l "_Tc26910" 题型07等差中项比值型 PAGEREF _Tc26910 \h 6
\l "_Tc9525" 题型08 等比中项比值型 PAGEREF _Tc9525 \h 7
\l "_Tc26447" 题型09整数型比值 PAGEREF _Tc26447 \h 7
\l "_Tc463" 题型10 等差等比函数性质：恒成立求参 PAGEREF _Tc463 \h 8
\l "_Tc1042" 题型11等差等比函数性质：奇偶型讨论 PAGEREF _Tc1042 \h 9
\l "_Tc27508" 题型12等差等比函数性质：三角函数型 PAGEREF _Tc27508 \h 9
\l "_Tc127" 题型13等差等比插入数型 PAGEREF _Tc127 \h 10
\l "_Tc24247" 题型14等差等比分段型数列 PAGEREF _Tc24247 \h 11
\l "_Tc12090" 高考练场 PAGEREF _Tc12090 \h 12

题型01 等差数列单调性
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．和均为的最大值
C．存在正整数，使得D．存在正整数，使得
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：
①若数列为递增数列，则对一切，；
②若对一切，，则数列为递增数列；
③若存在，使得，则存在，使得；
④若存在，使得，则存在，使得；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2019秋·河南洛阳·高三统考）已知数列为等差数列，其前项和为，若（且），有以下结论：①；②；③为递增数列；④．则正确的结论的个数为
A．B．C．D．
【变式1-2】（2019春·上海杨浦·高三复旦附中校考）已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：
①若数列为递增数列，则对一切，
②若对一切，，则数列为递增数列
③若存在，使得，则存在，使得
④若存在，使得，则存在，使得
其中正确命题的个数为
A．0B．1C．2D．3
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型02等比数列单调性
【解题攻略】
【典例1-1】无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．为等比数列B．为递增数列

【典例1-2】等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【变式1-1】已知数列满足，，设 ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

【变式1-2】.数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【变式1-3】数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型03等差数列不等式正负分界
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
【变式1-1】（2021·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为
A．3B．4C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，为其前n项和.若，，则下列判断错误的是（ ）
A．数列递增B．C．数列前2020项和最小D．
题型04等比数列“1”比较型不等式
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【典例1-2】（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【变式1-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．没有最大值
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的最大值为
题型05等差数列“高斯”性质
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）已知等差数列满足，则的最大值为（ ）
A．B．20C．25D．100
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前项和为.若且，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022秋·山东临沂·高三校考期中）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．22B．33C．44D．55
【变式1-2】（2023秋·高三课时练习）在等差数列中，，则数列的前19项之和为（ ）
A．98B．95C．93D．90
【变式1-3】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）在等差数列中，若，则（ ）
A．30B．40C．45D．60
.
题型06 等比数列“高斯”性质
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·山西太原·高三统考）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．7B．14C．D．
【典例1-2】（2023春·内蒙古通辽·高三校联考开学考试）已知等比数列满足：，则的值为（ ）
A．20B．10C．5D．
【变式1-1】（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-2】（2022秋·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（ ）
A．B．或C．D．
【变式1-3】（2023秋·甘肃·高三校考阶段练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（ ）
A．B．1011
C．D．1012
题型07等差中项比值型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·新疆伊犁·高三校考）设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·江西吉安·高三永丰县永丰中学校考）等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023春·新疆·高三八一中学校考）若两个等差数列，的前n项和满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型08 等比中项比值型
【典例1-1】已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．27B．3C．1或3D．1或27
【典例1-2】已知等比数列中，，，成等差数列．则=（ ）
A．4或B．4C．D．
【变式1-1】设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．

【变式1-2】已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．3D．4

【变式1-3】已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．

题型09整数型比值
【解题攻略】
【典例1-1】已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比，若，且是正整数，则实数（ ）
A．4B．2C．D．

【典例1-2】（2023春·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-1】（2022春·安徽安庆·高三安庆市第七中学校考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前n项和分别为，且，则使为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2B．6C．4D．5
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
题型10 等差等比函数性质：恒成立求参
【典例1-1】（2020·江苏·高三专题练习）已知是公比不为1的等比数列，数列满足：，，成等比数列，，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2020·全国·高三专题练习）已知为递增的等差数列，且构成等比数列.若，数列的前项和恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021秋·山西朔州·高三校考阶段练习）等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023秋·辽宁·高三校考阶段练习）已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为
【变式1-3】（2023秋·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为 ．
题型11等差等比函数性质：奇偶型讨论
【解题攻略】
【典例1-1】数列满足，则的80项和为________.

【典例1-2】数列{}中，，前和为，则为（ ）
A．-12B．16C．-10D．12

【变式1-1】已知数列满足，令，设的前项和为，则（ ） .
A．5049B．5050C．5051D．5052

【变式1-2】数列满足，则数列的前48项和为（ ）
A．1006B．1176C．1228D．2368

题型12等差等比函数性质：三角函数型
【典例1-1】（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．B．C．180D．240
【典例1-2】（2022·浙江宁波·统考二模）已知数列满足，.若对恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021上·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）数列的通项，其前项和为，则S18为（ ）
A．173B．174C．175D．176
【变式1-2】（2020下·四川成都·高三树德中学校考）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若对任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值
A．1B．2C．1D．
【变式1-3】（2022·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）已知依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A．依次可组成等差数列B．依次可组成等差数列
C．依次可组成等差数列D．依次可组成等差数列
题型13等差等比插入数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西南昌·统考二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
【典例1-2】（2022上·浙江·高三统考学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
【变式1-1】（2019下·贵州遵义·高三统考）在1和19之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-2】（2018·全国·高三竞赛）已知、是不相等的正数，在、之间插入两组数，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差数列，，，，…，，成等比数列．则下列不等式
（1），
（2），
（3），
（4）
中，为真命题的是（ ）．
A．（1）、（3）B．（1）、（4）
C．（2）、（3）D．（2）、（4）
【变式1-3】（2021下·高三课时练习）在数列、、、、的每相邻两项中插入个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第项（ ）
A．不是原数列的项B．是原数列的第项
C．是原数列的第项D．是原数列的第项
题型14等差等比分段型数列
【典例1-1】已知数列，，数列满足.若，且对任意，恒成立，则可能为（ ）
A．B．C．D．

【典例1-2】数列满足，，若为等比数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】数学史上著名的“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列中，（m是正整数），若，则m所有可能的取值集合是（ ）
A．B．C．D．

【变式1-2】已知数列的通项公式为，是数列的前n项和，若，使，则（ ）
A．1B．2C．1或3D．2或3
【变式1-3】已知数列满足，且，则中整数项的个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
高考练场
1.（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．2
2.设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（2018春·江西抚州·高三临川一中校考）设等差数列满足，，数列的前项和记为，则
A．，B．，
C．，D．，
4.（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是数列中的最大值
C．D．数列无最大值
5.（2023春·上海·高三专题练习）已知数列是等差数列，，，则（ ）
A．120B．96C．72D．48
6.（2023春·河南郑州·高三校考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（ ）．
A．B．C．D．
7.（2023·全国·高三专题练习）正项等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ）
A．B．1C．D．2
8.（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考）等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
9.（2023·全国·高三专题练习）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且若对任意的恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．-2D．2
10.（2017秋·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且， ，为整数的正整数的取值集合为 ．
11.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
12.数列满足，则数列的前60项和等于（ ）
A．1830B．1820C．1810D．1800
13.（2020·上海徐汇·统考二模）若数列的通项公式分别为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14.（2016上·湖南长沙·高三周测）已知函数，其中，对任意的都成立，在1和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的乘积为，则
A．B．
C．D．
15.数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：
（1）作差比较法：当时，递增；当时，递减.
（2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减.
（3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性
函数图象法：求出数列的前n项和，利用函数的图象性质来研究的最大最小值问题.
邻项变号法：
若当时，，当时，，则数列中，最大；
若当时，，当时，，则数列中，最小.
等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：
1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2
2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an.
.一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
等比数列“高斯技巧”
（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2；
(2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
双数列等差中项比值转化型
、均为等差数列且其前项和为、则
整数型比值，可以通过分离常数，因式分解，整除等知识点来构造求解
奇偶型讨论：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
插入数型
1.插入数构成等差数列
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等差数列，公差记为，所以：
插入数构成等比数列
在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等比数列，公差记为，所以：
插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。