湖南省长沙市2025届九年级下学期中考适应性考试（一）数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市2025届九年级下学期中考适应性考试（一）数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．D．
2．2024年国庆期间，与凉爽天气形成鲜明对比的是长沙文旅市场的火爆程度，游客纷至沓来．据手机信令大数据建模分析显示，国庆假期7天，长沙市共计接待游客约952万人次．将数据952万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表：
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ）
A．7和7B．7和8C．8和7D．8和8
6．在一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，则摸出的是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．将一副三角板如图放置，其中，，，点落在线段上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的直径，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．下列说错误的是（ ）
A．直线可由直线向下平移一个单位长度得到
B．函数中，随着的增大而增大
C．抛物线的对称轴是
D．反比例函数的图象经过点
10．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．计算： ．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是 ．
14．如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为 ．
15．如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为 ．
16．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的周长．
20．某学校开展了以“红色文化”为主题的研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了_____名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中，组对应的扇形圆心角的度数是_____；
(4)若该学校共有学生名，请估计该校研学活动时长为的学生人数．
21．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示：
(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？
(2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
23．如图，在矩形中，对角线与交于点，点在边上，与交于点，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的面积．
24．如图，已知等腰的底边长为是等腰的外接圆，弦与交于点，为上的动点（不与，重合），交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求的最大值；
(3)在（1）的条件下，若是延长线上一点，交于点，当时，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值；
(3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
答对题数（道）
6
7
8
9
10
人数
3
8
6
5
2
甲种水果数量（箱）
乙种水果数量（箱）
总利润（元）
《2025年湖南省长沙市九年级中考适应性数学试卷（一）》参考答案
1．D
解：根据实数大小比较的方法可知：，
∴最大的数是，
故选：．
2．C
解：952万．
故选：C．
3．B
解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
4．C
解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B．，原选项计算错误，不符合题意；
C．，计算正确，符合题意；
D．，原选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
5．C
解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是7；
因为共有24人，
所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即，
故选：C．
6．A
解：∵一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，
∴摸出的是黄球的概率为，
故选：．
7．C
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
8．B
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
解：、直线可由直线向下平移一个单位长度得到，原选项说法正确，不符合题意；
、由函数可知，，
∴随着的增大而增大，原选项说法正确，不符合题意；
、由抛物线得对称轴是，原选项说法错误，符合题意；
、当时，，
∴反比例函数的图象经过点，原选项说法正确，不符合题意；
故选：．
10．C
解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，
所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意．
故选：C．
11．
解：
．
故答案为：
12．
解：原式
，
故答案为：．
13．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
14．
解：∵的弦垂直于直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：∵，，，
∴，
由折叠性质可知：，，，
∴，，
设，则，
∴，即，
∴，即，
故答案为：．
16．
解：过作于，
∵等边，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，，
∴，，
同理，中，由可得，
中，由可得，
∴，
∵，
∴当时，最大，
即的面积最大值为．
17．．
解：原式
．
18．不等式组的解集为：，在数轴上表示见解析．
解：，
解不等式得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示，如图，
．
19．(1)证明见解析；
(2)的周长为．
（1）证明：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
20．(1)；
(2)补全统计图见解析；
(3)；
(4)估计该校研学活动时长为的学生人数有名．
（1）解：本次调查学生总数：（名），
故答案为：；
（2）解：组：（名），组：（名），
补全统计图如图所示，
（3）解：组对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（4）解：估计该校研学活动时长为的学生人数为：（名），
答：估计该校研学活动时长为的学生人数有名．
21．(1)见解析
(2)2
（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元；
(2)购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，
则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
23．(1)证明见解析；
(2)的面积为．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
24．(1)
(2)16
(3)
（1）解：如图，连接，在中，，
，
，
．
，设，则，
，
即，
解得，；
过作于H，如图；
，
；
在中，，由勾股定理： ，
，
在中，，
．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
．
设，则，
．
，
当时，有最大值．
当时，的最大值为．
的最大值为16．
（3）解：如图，过作于．
在中，．
，
，
在中，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
综上，的值为．
25．(1)二次函数的解析式；
(2)面积的最大值为；
(3)点的坐标为或．
（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
设，
∴点的横坐标为，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上，
∴，
∴面积为
，
∴当时，面积有最大值为；
（3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴点，
∵点在直线：上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
同上理得：，，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或．