2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习01 解三角形（解答题）（2份，原卷版+教师版）

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近三年新高考数学中，三角形相关解答题考查情况总结如下：
考点方面：主要涉及正弦定理、余弦定理用于解三角形；三角函数的和差角公式、辅助角公式等进行化简与求值；三角形面积公式及其应用；还涉及到三角恒等变换，如二倍角公式等。其中正弦定理、余弦定理及三角形面积公式是高频考点。
题目设置方面：通常设置两问，第一问多为求角，常通过对已知条件进行边角转化，结合三角函数公式求解；第二问常涉及求边、求三角形面积或周长、求边上的高 等，一般在第一问求出角的基础上，利用正弦定理、余弦定理及面积公式等进一步计算。整体考点稳定且具有较强的关联性与系统性。
2025 年新高考中，解三角形大概率仍会作为重点考查内容。以一道解答题（分值约 13 - 15 分）呈现。解答题通常设置两问，有一定梯度，循序渐进引导解题。
正弦定理、余弦定理依旧是核心。会给出边与角的混合条件，要求考生熟练运用正、余弦定理进行边角互化，求解三角形的边、角、面积等基本量。
正弦定理
基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
①
②
③
④
应用：边角互化
①
②
③
或（舍）
三角形中三个内角的关系
，，
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面积公式
角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
张角定理
倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，因为，所以，
从而，又因为，即，
注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，由正弦定理有，
从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，所以.
典例2
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，于是，
，
由正弦定理可得，，即，解得，
故的周长为
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），，即，
又，，
，，即，所以，.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，，
.
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，，所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）方法一：直接法
可得，
则，即，
注意到，于是，
展开可得，则，又，.
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为，
即，而，所以；
方法三：导数同构法
根据可知，，
设，，
则在上单调递减，，
故，结合，解得.
（2）由（1）知，，所以，而，
所以，即有，所以
所以．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
【名校预测·第一题】（2025届湖南省长沙市雅礼中学高三3月综合自主测试数学试题）
在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面积.
【答案】(1)(2)
【来源】2025届湖南省长沙市雅礼中学高三3月综合自主测试数学试题
【分析】（1）由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出的值，进而可求角；
（2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可求出.
【详解】（1）因为，
即，解得或.
因为在中，，所以.
（2）在中，由余弦定理，得，
整理得，由，解得，
所以的面积为.
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题）
记的内角，，的对边分别，，，已知．
(1)求；
(2)设是边中点，若，求．
【答案】(1)(2)．
【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解.
（2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，又，
则，而，
化简得，即，而，因此，所以.
（2）在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是边中点，得，
则，因此，
在中，由正弦定理，得.
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
(1)求B；
(2)若，D为AC边上的一点，且，，求AC的最大值．
【答案】(1)(2)
【来源】重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；
（2）由，得出，得出，结合余弦定理，利用基本不等式，即可求出结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理，得
因为，所以，所以
因为，所以
因为，所以，
所以，因为，所以
因为，所以，所以，所以；
（2）因为D为AC边上的一点，且，，所以，
所以，所以，即，
在中，由余弦定理，得
因为，所以所以
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立.所以AC的最大值为
【名校预测·第四题】（山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题）
在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【来源】山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题
【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.
【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，
因为，则，即，可得，整理得，
由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，
故，整理得，
又因为为锐角三角形，则，可得，所以，即.
（2）在中，由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，且，所以，解得.
故，所以.因此线段长度的取值范围.
【名校预测·第五题】（2025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月综合自主测试数学试题）
在中，角的对边分别为，若．
(1)求；
(2)若，证明：是直角三角形．
(3)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【来源】2025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月综合自主测试（提升卷）数学试题
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得角；
（2）根据余弦定理以及已知条件有，，据此可证明，即可得到结论；
（3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，结合锐角三角形条件即可求得取值范围.
【详解】（1）由可知，从而由正弦定理得.
故，这就得到，故.
此即，故，得或，这里.
结合，就知道.
（2）因为，由余弦定理可得.又因为，故.
这就得到
.
所以或，即或，从而必有是直角三角形．
（3）由正弦定理可得，故.
而因为为锐角三角形，故，解得的范围是.
从而的范围是，故的取值范围是.
【名师押题·第一题】
在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，且，求的最小值.
【答案】(1).(2)8.
【分析】（1）根据同角三角恒等变换化简即可；
（2）由题意，再根据平面向量的线性运算可得，进而两边平方化简可得，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由，可得，
所以，
即，即，
由于，，又，所以，化简可得，
由于，故.
（2）由于，所以，
故，
故，
即，故，
化简得，又，即，故，当且仅当时取等号，故的最小值为8.
【名师押题·第二题】
已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)(2)9
【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解；
（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解．
【详解】（1）由正弦定理及，得，
，
，．
（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，
得，．
由余弦定理得，，
，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．
【名师押题·第三题】
在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若.
（i）求；
（ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）
【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角的大小；
（2）（i）由三角形内角和可求出，结合正弦定理可求出边；（ii）法一：根据直角三角形角的关系可设，则均可用表示，余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出最小值；法二：由，可知四点共圆，从而表示，转化为求最小值，数形结合，当时，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最小；法三：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点坐标，利用两点距离公式可求出最小值.
【详解】（1）在中，.
由及正弦定理得，，
整理得.
由于，则.又，故.
（2）（i）如图1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得.
（ii）由于，则与互补，故.
方法1：单变量法
设，则，
，则
.
当时，取得最小值为.
方法2：四点共圆
如图1，由，故四点共圆，且为该圆直径.
由正弦定理得，故求的最小值等价于求的最小值.当时，最小，此时，故取得最小值为.
方法3：建系坐标法
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2，则，，直线，直线.设，则，直线.
联立方程得，.当时，取得最小值为.
【名师押题·第四题】
记的内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若平分交于点，且，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，通过三角函数的恒等变换来证明等式；
（2）根据三角形面积公式及角平分线性质得到的表达式，再结合均值不等式求出其最值.
【详解】（1）证明：由正弦定理及，得，
因为，所以，所以，即，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以，又，所以.
（2）解：由平分，则，因为，
即，整理可得，
又因为，则，
可得，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.
【名师押题·第五题】
在中，，，分别是内角，，的对边，．
(1)求角的大小；
(2)设为边上一点，若，且，求面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理化简可得，整理可推得，结合三角形内角和公式以及诱导公式化简推得，即可求出答案；
（2）法一：结合图形得，两边平方整理推出由基本不等式得出，即得面积最小值；法二：设，，则，根据面积关系推得利用两角关系求得，再由推得，同法求得面积最小值；法三：过点作，交于点.根据平行线的性质得.由余弦定理推得，即得，同法求得面积最小值.
【详解】（1）依题意，，即，
结合正弦定理，可得，
因为，，所以，即，
故，因为，，则，故.
（2）法一：因为，所以，，
所以，
所以，
即，整理得.
由，可得，当且仅当时，等号成立.
故面积，即面积的最小值为.
法二：设，，则，为点到边的距离.
因为，所以，又，
故，得，所以，整理得，
因为，得，
显然，，故，.
根据，得，
即，整理得.
由，可得，当且仅当时，等号成立.
故面积，即面积的最小值为.
法三：过点作，交于点.据，可得，，
因为，故，，
所以，，得.
在中，，，
由余弦定理，，
则，解得，
所以，即.
由，可得，当且仅当时，等号成立.
所以面积，
即面积的最小值为.
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
15
13
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；(2)若的面积为，求c．
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦；三角形面积公式及其应用
2024年新高考II卷
15
13
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
辅助角公式；正弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用
2023年新高考I卷
17
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；(2)设，求边上的高．
用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
2023年新高考II卷
17
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律
2022年新高考I卷
18
12
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；(2)求的最小值．
正弦定理边角互化的应用；基本不等式求和的最小值
2022年新高考II卷
18
12
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用