2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习02 立体几何（解答题）（2份，原卷版+教师版）

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空间位置关系证明：频繁考查线面平行、线面垂直、面面垂直的证明。如通过线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直进而证明面面垂直 。​
空间角计算：二面角的向量求法是重点，常给出相关几何条件，要求考生建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值或余弦值。也涉及线面角相关计算。​
距离与线段长度求解：包括求点到平面的距离、由二面角大小求线段长度等。常借助等体积法或向量法求解点面距离，根据几何关系和空间向量运算求线段长度 。​
题目设置方面​
通常设置两问，第一问多为空间位置关系的证明，如证明线面平行或垂直等，考查对相关判定定理的理解和运用；第二问多为空间角的计算或线段长度、距离的求解，在第一问的基础上，要求考生熟练运用空间向量方法或几何方法进行计算，综合性较强。整体考点稳定，注重对空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力的考查 。
题型与分值：预计 2025 年新高考中，立体几何仍会以一道解答题（分值约 13 - 15 分）的形式出现，设置两问，有一定难度梯度，循序渐进引导解题。​
考查方向​
空间位置关系：线面平行、线面垂直、面面垂直的证明依然是重点内容。可能会给出更复杂的几何图形，如组合体（棱柱与棱锥组合等），要求考生从复杂图形中准确找出线线、线面、面面关系，运用判定定理进行证明 。​
空间角计算：二面角的向量求法仍是核心考点，可能会结合实际应用背景（如建筑设计中的角度问题）或与其他知识（如三角函数）综合考查。也可能出现线面角、异面直线所成角的计算，考查考生建立空间直角坐标系、准确计算向量坐标和运用向量公式的能力 。​
距离与体积：点到平面的距离、几何体的体积计算可能会有所涉及。可能需要考生灵活运用等体积法、向量法等方法求解距离，根据几何图形的特征计算体积，考查运算求解能力和转化与化归思想 。​
创新题型：可能会出现一些创新题型，如开放性问题（给出部分条件，让考生补充条件并证明相关结论）、探究性问题（探究几何图形中某些元素的变化对空间位置关系或空间角的影响），考查考生的创新思维和综合运用知识的能力 。
空间中的平行关系
线线平行
线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行
面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直的判定定理
一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
面面垂直的判定定理
一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
面面垂直的性质定理
两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【名校预测·第一题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点．
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的正弦值为，求．
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题）
在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点在线段上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值．
【名校预测·第三题】（辽宁省东北育才中学2024-2025学年高三下学期二模数学试卷）
如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）．

(1)证明：平面；
(2)已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求．
【名校预测·第四题】（安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷）
如图，在四棱锥中，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
(1)若，平面与平面是否互相垂直？如果垂直,请证明；如果不垂直，请说明理由.
(2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.
【名校预测·第五题】（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三第八次模拟考试数学试卷）
如图，在四棱锥中，平面，，，，M为棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)已知.
（i）求平面与平面夹角的余弦值.
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【名师押题·第一题】
如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.
(1)求证：平面平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求.
【名师押题·第二题】
如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点.
(1)若，证明：平面BCNM.
(2)若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF.
【名师押题·第三题】
在平面四边形中，，，如图1所示.现将图1中的沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图2所示.

(1)求证：；
(2)若，二面角的大小为，求的值.
【名师押题·第四题】
如图，在正方形中，，分别为中点，四边形也是正方形，经过点的直线与平面的夹角为且，现将正方形沿直线平移至得到四棱台．

(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若平面平面，求四棱台的体积．
【名师押题·第五题】
如图，长方体中，，，，E，F分别为棱AB，的中点．

(1)过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；
(2)设T为线段上一点，当平面平面时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值．年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
17
15
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
证明线面平行；由二面角大小求线段长度或距离；证明面面垂直
2024年新高考II卷
17
15
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直；求平面的法向量
2023年新高考I卷
18
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法；已知面面角求其他量
2023年新高考II卷
20
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直
2022年新高考I卷
19
12
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
求点面距离；面面角的向量求法
2022年新高考II卷
20
12
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
证明线面平行；面面角的向量求法