2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习06 数列（解答题）（2份，原卷版+教师版）

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近三年新高考数学数列解答题考查情况总结
1.考点方面
数列基本量计算：等差数列通项公式前项和公式的基本量计算是核心。如2023年新课标I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。数列通顶公式求解：利用定义法（如等差数列定义）、与的关系(求通项。如2022年新高考I卷通过为等差数列求通项。
数列求和与综合：分组求和（如2023年新课标II卷)、裂项相消法（如2022年新高考I卷证明不等式)；数列与不等式结合（如证明。
2.题目设置方面
通常设置两问，第一问求数列通项公式，第二问求和或证明不等式、比较大小（如2023年新课标卷证明时整体考点稳定，注重对数列基本公式、方法的理解与运用，兼顾计算能力和逻辑推理能力的考查。
题型与分值：预计以一道解答题（分值约 12 - 17 分）呈现，设置两问，梯度分明。​
考查方向​
数列基本性质：等差数列、等比数列的通项公式与前 n项和公式仍是考查重点，可能结合递推关系求通项。​
数列求和方法：裂项相消法、分组求和法、错位相减法等仍会考查，尤其裂项相消在证明不等式或求和中出现概率高。​
综合应用：数列与不等式的综合（如证明数列和的范围、不等式恒成立求参数），或与函数结合考查数列的单调性、最值。​
计算与推理：注重基本概念与公式的灵活运用，第二问可能设置一定计算量或推理过程，如通过数列求和证明不等式，考查逻辑严谨性和运算准确性。
等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
通项公式的构造
（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解
（2）已知用求通项
（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知用求通项公式，其本质是除以
（6）已知用求通项公式，其本质是取到数
（7）已知用求通项公式，其本质是取对数
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.即
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下数学试卷）
已知正项数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【名校预测·第二题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【名师押题·第一题】已知数列满足，．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【名师押题·第二题】已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
【名师押题·第三题】已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【名师押题·第四题】已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)设，求数列的前n项和．
(3)设，证明：．
【名师押题·第五题】已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
年份
题号
分值
题干
考点
2023年新高考I卷
20
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算
2023年新高考II卷
18
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
利用定义求等差数列通项公式；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
2022年新高考I卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用与关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项
2022年新高考II卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题