河北省秦皇岛市第三中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试卷A卷（含解析）

这是一份河北省秦皇岛市第三中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试卷A卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试说明：考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。只有一个选项是正确的。请把正确的选项填在答题卡的相应位置
1.若2+a+1ia∈R为实数，b-2+3ib∈R是纯虚数，则复数a+bi为（ ）
A. 2-i B. 2+i C. 1+2i D. -1+2i
2.已知a→=3,2，b→=-6,x，若a→与b→共线，则x=（ ）
A. -4 B. 4 C. 9 D. -9
3.已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若asinA=2，sinB=22，则b的值为（ ）
A. 22 B. 2 C. 1 D. 2
4.已知空间向量a→，b→且AB→=a→+2b→，BC→=-5a→+6b→，CD→=7a→-2b→，则一定共线的三点是（ ）
A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D
5.已知向量a→=x,3，b→=2,-4，若a→+b→⊥a→，则x=（ ）
A. 1 B. 3 C. 1或-3 D. 1或3
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由A1，C1，B，D四个点为顶点的正四面体B-A1C1D的表面积为a2，则该正方体的表面积为（ ）
A. 2a2 B. 3a2 C. 2a2 D. 6a2
7.在△ABC中，AD→=23AC→，点E在BD上，若AE→=xBA→+13BC→，则x=（ ）
A. -23 B. -45 C. -56 D. -67
8.已知两个单位向量e→1，e→2的夹角为θ，则下列结论中正确的有（ ）
①e→1在e→2上的投影向量为csθ；②e→1⋅e→2=1；③e→12=e→22；④e→1+e→2⊥e→1-e→2．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9.已知i为虚数单位，复数z满足z=1+5i1+i，则（ ）
A. z的实部为3
B. z的虚部为2i
C. z⋅z―=13
D. z―在复平面内对应的点在第四象限
10.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=4cm，CD=2AB，则下列说法正确的有（ ）
A. 该圆台的高为3cm
B. 该圆台轴截面面积为24cm2
C. 该圆台轴截面面积为123cm2
D. 一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm
11.若向量a→=2,1，b→=1,-1，则下列说法正确的是（ ）
A. a→+b→=a→-2b→
B. a→-b→与b→平行
C. a→+2b→在a→上的投影向量为75a→
D. sin⟨a→,b→⟩=31010
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且a2-2ac+c2=b2，则B=____．
13.向量a→，b→在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a→-b→=____．
14.若a-2i2+i=b-i（a，b∈R，i为虚数单位），则a2+b2=____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（13分）计算
(1)5i-[3+4i--1+3i]
(2)1-i1+2i1+i
(3)2-i2
16.（15分）已知向量a→=1,2，b→=-2,3．
(1)求2a→+3b→；
(2)求a→+b→⋅a→-b→；
(3)求cs⟨a→,b→⟩．
17.（15分）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=3．
(1)求证：四棱锥D1-ABCD是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马”D1-ABCD的外接球的表面积．
18.（17分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN=45∘，点C的仰角∠CAB=60∘，以及∠MAC=75∘．从点C测得∠MCA=45∘，已知山高BC=300m．
(1)求两点AC间的长度；
(2)求山MN的高度．
19.（17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3acsB+3bcsA．
(1)求a2+c2ac的值；
(2)若B=2π3，△ABC的面积为1534，求AC边上的高．
秦皇岛市第三中学2024 - 2025学年度第二学期期中考试
高一数学试卷A卷
答案
一、单选题
1．若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的概念得出的值即可.
【详解】为实数，则，
是纯虚数，则，
则
故选：D
2．已知，，若与共线，则（ ）
A．B．4C．9D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】因为与共线，
所以，解得.
故选：A.
3．已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得,故.
故选：C
4．已知空间向量且则一定共线的三点是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】A
【分析】利用向量加法求出，利用共线向量定理逐一判断即可.
【详解】解：对于A选项， ，所以三点共线，A正确；
对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误；
对于C选项，设 ，则 ,即 ,无解，C错误；
对于D选项， ，设 ，
即 ，即 ，无解，D错误．
故选：A
5．已知向量，，若，则（ ）
A．1B．3C．1或D．1或3
【答案】C
【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参.
【详解】因为，，
所以.
又，所以，
解得或.
故选：C.
6．8．在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积.
【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，
所以，
所以，
所以.
故选：B
7.在中，，点E在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解.
【详解】因为，所以，
则
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：C
8．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的有（ ）
①在上的投影向量为；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据投影公式判断①，应用平面向量数量积公式定义判断②，根据向量数量积平方计算判断③，应用向量的垂直判断④.
【详解】在上的投影向量是一个向量，故①不正确；
故②不正确；
，故③正确；
如图所示，设，作平行四边形，则为菱形．则．
故④正确.
故选：B.
二、多选题
9．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.
【详解】由于，
则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；
由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，
故选：ACD.
10．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台轴截面面积为
D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
【答案】CD
【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项．
【详解】如图①，作交于E，则，
则，则圆台的高为，故A错误；
圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确；
将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形，
可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为，
连接，可得，，则，
所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确．
故选：CD．
11．若向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．与平行
C．在上的投影向量为D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可.
【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确；
B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误；
C选项：，又，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
D选项：，又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．△ABC的内角、、所对边长分别为、、，且，则 ．
【答案】
【分析】应用余弦定理求出角即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
13．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则 .
【答案】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：
小网格的边长为1，从而，
所以，从而，
所以.
故答案为：.
14．若（，为虚数单位），则 ．
【答案】73
【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出得解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
则.
故答案为：73
四、解答题
15．已知向量，．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.
（2）根据向量模的计算公式计算可得.
（3）利用向量夹角余弦公式可求出答案.
【详解】（1）因为，,
所以
（2）因为，,
所以，
所以,
（3）.
16．计算
(1)
(2)
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数的加减法法则求解；
（2）根据复数的乘除法法则求解；
（3）根据复数的乘法法则求解.
【详解】（1）
；
（2）
（3）.
17．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.
(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马”的外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析，4
(2)
【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积；
（2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.
【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形，
所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面，
所以四棱锥是一个“阳马”，
体积；
（2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
因为，.
长方体的对角线长为，
则长方体的外接球的半径，
该“阳马”外接球的表面积为.
18．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.
(1)求两点AC间的长度；
(2)求山MN的高度.
【答案】(1)
(2)200
【分析】（1）解直角三角形即可求得答案；
（2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求；
【详解】（1）在中，因为，，，
所以，
（2）在△AMC中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值；
（2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高.
【详解】（1）由和余弦定理，
可得：，
化简得，则得，
故；
（2）由可得，
由（1）已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
设边上的高边上的高为，
则由，解得，
故边上的高为.