黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高二下学期4月学业阶段性评价考试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟满分：150 分共 2 页）
第 I 卷（共 58 分）
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 若一数列为 1，，，，⋯，则是这个数列的（）
A. 第 12 项 B. 第 13 项 C. 第 14 项 D. 第 15 项
2. 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，
乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（）
A. 在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于 0
B. 在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C. 甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
D. 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
3. 已知数列满足：对任意的，都有，且，则（）
A. B. C. D.
4. 函数的单调递减区间是（）
A. B. C. D.
5. 一个等比数列共有项，若前项之和为 15，后项之和为 60，则这个等比数列的所有项的和为
（）
A. 63 B. 72 C. 75 D. 87
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6. 等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（）．
A. 第 5 项 B. 第 6 项 C. 第 7 项 D. 无法确定
7. 数列满足，且，则等于（）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
8. 已知是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（）
A. B.
C D.
二、多选题（共 3 小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得 6 分，部分选对的得部
分分，有选错的得 0 分）
9. 下列求导结果正确的是（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列描述正确的是（）
A. 直线是的一条切线
B. 在上单调递增
C. 在上最小值为
D. 关于的不等式的解集为
11. 若正整数，的公约数只有 1，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与
互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，，
，则下列结论正确的是（）
A. B. 素数时，
C. 数列是等比数列 D.
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第 II 卷（共 92 分）
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分）
12. 记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若，则 S5=____________．
13. 函数的极大值为________.
14. 已知数列满足，，则 ______.
四、解答题（共 5 小题，总计 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 记为等差数列的前项和．已知．
（1）求通项公式；
（2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得
到新数列，求的前 20 项和．
16. 在① ，；② 这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下
题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明： .
17. 已知函数，函数 .
（1）设点是函数图象上的任意一点，在点处切线的倾斜角为，求角的取值范围；
（2）讨论函数在区间上的单调性.
18 已知数列满足， .
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所
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有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由.
19. 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样
的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
（1）判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
（2）已知无穷数列是周期为 2 的周期数列，且，，是数列的前项和，若
对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
（3）若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使
得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
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