黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题（Word版附解析）

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满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：D.
2. 已知命题 ；命题 ，则（ ）
A. 和 均为真命题 B. 和 均为真命题
C. 和 均 真命题 D. 和 均为真命题
【答案】B
【解析】
【分析】代入具体数值可判断命题 和 的真假，即可得到 和 的真假.
【详解】因为当 时， 成立，故命题 为真命题， 为假命题；
当 时， ，故命题 为假命题， 为真命题.
故选：B.
3. 在 中 的平分线 交边 于点 ，记 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理得到 ，再利用平面向量的线性运算即可得到答案.
【详解】由题意， ， 为 的平分线，
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根据正弦定理知 ①， ②，
结合 ， ，
得 ，即 ，
则 ，
即 ，
故选：B.
4. 甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由 5 个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这
组数据一定都小于 12 的是（ ）
A. 甲：中位数为 9，众数为 11 B. 乙：中位数为 9，极差为 3
C. 丙：平均数为 8，极差为 4 D. 丁：平均数为 8，方差为 3
【答案】B
【解析】
【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对 5 个数据进行举例假设分
析，即可得到判断.
【详解】对于 A，中位数为 9，众数为 11，说明 11 至少有两个数，不妨取两个 11，
则由中位数可知另外两个数肯定不超过 9，故 A 能判断这组数据都小于 12，所以不能选 A；
对于 B，中位数为 9，极差为 3，由于极差是 5 个数中最大与最小的差，
由于该组数据由 5 个整数组成，所以不妨取 4 个 9，1 个 12，这样不能判断该组数据一定小于 12，故选 B；
对于 C，平均数为 ，极差为 ，由于 个数都是整数，根据条件可知，这 个数中肯定最大数与最小数的
差为 ，则可知最大数肯定大于 ，最小数肯定小于 ，故最小数加 得最大数肯定小于 ，从而能判断
这组数据一定都小于 12，故不能选 C；
对于 D，平均数为 8，方差为 3，由方差公式可得
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，
若存在数 12，则
，这与方差为 3 相矛盾，所以最大数也一定小于
12，故不能选 D；
故选：B.
5. 已知函数 ，则 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数 与 的图象，数形结合可得出不等式 的解集.
【详解】作出函数 与 的图象，如图，
当 时， ，作出函数 与 的图象，
由图象可知，此时解得 ；
当 时， ，作出函数 与 的图象，
它们的交点坐标为 ， ，结合图象知此时 ．
所以不等式 的解集为 ．
故选：C.
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6. 高相同的圆柱与圆台的体积分别为 ， ，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则 与
的关系为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆台体积公式，结合等差中项，可通过基本不等式转化到圆柱的体积即可得到判断.
【详解】设圆台的上、下底面积分别为 ， ，圆柱的底面积为 ，高为 ，
根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，
， ，
，
故选：A.
7. 如图，在高为 16 的圆柱型筒中，放置两个半径均为 3 的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面
相切，已知平面 与两个小球也相切，平面 被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出截面图，由圆柱高和球的半径求出 的长，由勾股定理求得 的长，再
由三角形全等，求得长半轴长 ，由圆柱得到短半轴长 ，从而求得半焦距长 ，然后由离心率公式求得离
心率的值.
【详解】设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆 ，如图，作出圆柱过椭圆 的长轴的截面图，
设长轴 A，B 与两圆的切点是 ．连接 ，记椭圆长轴与 交于点 C，
过 C 作 ，且 CD 交圆柱的母线于点 D，连接 ，
则 ， ．
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因为圆柱的高为 16，球的半径是 3，所以圆柱的底面半径为 3， ．
根据对称性可知 C 是 ，AB 的中点，故 ，则 ．易得 ，故
，则椭圆的长半轴长 ．
由题意得椭圆的短半轴长 ，所以半焦距长 ，则椭圆的离心率为 ，
故选：D．
8. 已知函数 ， ，当 时，函数 的图象始终在函数 图象的上方，
则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将已知不等式变形为 ，可得出 ，令 ，利用导数求出 的取值范
围，可得出 ，然后分 、 、 三种情况讨论，在第一种情况下，直接验
证即可；在第二、三种情况下，结合参变量分离法可求出实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的 ， ，即 ，即 ，
因为 ，故 ，故 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，所以 ，
由题意可得 恒成立，
当 时，显然该不等式成立，此时， ；
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当 时，则 ，令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ；
当 时，则 ，令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，则 .
综上所述， ，即实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知函数 ， ，则（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 关于 对称
C. 函数 的所有零点构成的集合为
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D. 函数 在 上是减函数
【答案】BC
【解析】
【分析】利用二倍角公式求 的解析式，再求其周期即可判断 A 的真假；根据同角三角函数
基本关系求 的解析式，再分析函数性质，判断 B 的真假；根据辅助角公式求 与
的解析式，分析函数性质，可判断 CD 的真假.
【详解】对于 A， ，其最小正周期 ，故 A 错误；
对于 B， ，其图象关于 对称，故 B 正确；
对于 C， ，
由 ，得 ， ，故 C 正确；
对于 D， ，
由 ， ，所以函数 在 上为增函数，
又 ，所以函数 在 上是增函数，故 D 错误.
故选：BC.
10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ， 为坐
标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 ，反射后，再经过
上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）
A.
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B. 延长 交直线 于点 ，则 三点共线
C
D. 若 平分 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题设和抛物线的性质得到点 ， ，将点 代入抛物线 的方程得到 ，
从而求出直线 的方程，联立直线 和抛物线 得到点 的坐标，即可判断选项 A 和 C，又结合直线
和直线 得到点 ，即可判断 B 选项，若 平分 ，得到 ，转化为直线
斜率 和直线 的斜率的关系式即可求出 .
【详解】由题意可得抛物线焦点 ， ，如图，
将 代入 解得 ，所以 ，则直线 的斜率 ，
则直线 方程为 ，即 ，
联立 得 ，所以 ，解得 ，A 说法错误；
将 代入 解得 或 （舍去），则 ，
所以 ，C 说法正确；
由已知可得 轴，且 ，则直线 的方程为 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
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令 解得 ，即 ，所以 在直线 上，
所以 三点共线，B 说法正确；
设直线 的倾斜角为 （ ），斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，
若 平分 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，且 ，解得 ，
又 ，解得 ，D 说法正确；
故选：BCD
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
B. 当 时， 在 上 增函数
C. 若 在 上为减函数，则
D. 当 时，若函数 有且只有一个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，利用导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断 A；对于 B，
利用导数研究函数的单调性判断 B；对于 C，将问题化为在 上 恒成立，应用导数研
究 的最小值，即可得参数范围判断 C；对于 D，将问题化为 有唯一解，应
用导数研究 的单调性和值域判断 D.
【详解】对于 A，由题设 ，
则 ，且 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
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切线与 轴的交点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，
所以 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，故 A 正确；
对于 B，由题设 ， ,
当 时， 趋向于负无穷，当 时， 趋向于正无穷，
所以存在 ，使 ，
所以当 时， ， 在 上是减函数，故 B 错误；
对于 C，因为函数 在 上为减函数，
则在 上 恒成立，则 ，
令 ，则 ，
易知 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D，函数 有且只有一个零点，
即 有唯一解，则 ，
令 ，且 ，则 ，
令 ，显然在 上为增函数， ，
则存在 ，使得 ，
易知 时， ， 时， ，
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则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
当 时，当 时， 趋向于正无穷，当 时， 趋向于 0，
所以 有且只有一个解时， ，即 ，
故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，则 ______．
【答案】 ##0.8
【解析】
【分析】根据二倍角公式和同角的三角函数的关系即可求出.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知数列 中， ， ， ，则 的前 项和 _____.
【答案】
【解析】
【分析】由 ，得 ，得到等差数列 ，进而可求解；
【详解】由 ，得 ，
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是首项为 ，公差为 1 的等差数列，
，
，
， 为等差数列，
.
故答案为：
14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的
三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的
垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角 外接圆的半径为 4，且三条圆弧沿 三边翻
折 后 交 于 点 . 若 ， 则 _____________； 若 ， 则
的值为_____________.
【答案】 ①. ##0.75 ②.
【解析】
【分析】第一空：由正弦定理求得 ，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得
，即得答案；第二空：设 ，由余弦定理求得
它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出 ，即可求得
答案.
【详解】设外接圆半径为 ，则 ，
由正弦定理，可知 ，
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即 ，由于 是锐角，故 ，
又由题意可知 P 为三角形 ABC 的垂心，即 ,故 ，
所以 ；
设 ，
则 ，
由于 ，不妨假设 ，
由余弦定理知
，
设 AD,CE,BF 为三角形的三条高，由于 ,
故 ,
则得 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心
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性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 数列 是公比为 的等比数列，且 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解.
（2）利用裂项相消求和求解即可.
【小问 1 详解】
依题可得： ，
即： ，
解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
证明：设 ，
则 ，
所以 ，
16. 现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，且小球内放有题目.已知甲
箱内有 4 个 A 类题目的小球，5 个 B 类题目的小球，3 个 C 类题目的小球；乙箱内有 2 个 A 类题目的小球，
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2 个 B 类题目的小球，6 个 C 类题目的小球.
（1）从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记 表示抽取的小球内放有 B 类题目的个数，求 的分布列
和数学期望；
（2）先从甲箱内抽取一个小球放入乙箱内，再从乙箱内抽取一个小球，求这个小球内放有 A 类题目的概率
.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）求出甲、乙箱内抽取一个小球，且小球内放有 B 类题目的概率和小球内没有 B 类题目的概率，
分析知， 的可能取值为 ，求出随机变量 在不同取值下的概率，可得出随机变量 的分布列，进
而可求得数学期望；
（2）设事件 “从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有 A 类题目”，设事件 分别是从甲箱中取出
A 类题目的小球，B 类题目的小球，C 类题目的小球，利用全概率公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
从甲箱内抽取一个小球，且小球内放有 B 类题目的概率为 ，
小球内没有 B 类题目的概率为 ；
从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有 B 类题目 概率为 ，
小球内没有 B 类题目的概率为 ，
的可能取值为 ，
则 ，
，
，
所以 的分布列为
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0 1 2
.
【小问 2 详解】
设事件 “从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有 A 类题目”，
设事件 分别是从甲箱中取出 A 类题目的小球，B 类题目的小球，C 类题目的小球.
则
.
17. 如图，点 在以 为直径的半圆的圆周上， ，且 平面 ，
（1）求证： ；
（2）当 为何值时，平面 与平面 夹角的余弦值为 ？
【答案】（1）证明见解析；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质有 ，由圆的性质易得 ，再由线面垂直的判定和性质
证明结论；
（2）若 为 的中点，即为半圆的圆心，作 面 ，在面 内作 ，构建合适的空间
直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数 即可.
【小问 1 详解】
由 平面 ， 平面 ，则 ，
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又点 在以 为直径的半圆的圆周上，则 ，
由 且都在面 内，则 面 ，
由 面 ，故 ；
【小问 2 详解】
若 为 的中点，即为半圆的圆心，作 面 ，在面 内作 ，
由 ， ，则 ，
故可构建如下图示的空间直角坐标系 ，则 ，
由 ，故 ，可得 ，
所以 ， ， ，
若 ， 分别为面 、面 的一个法向量，
则 ，取 ， ，
，取 ， ，
所以 ，
整理得 ，则 ，可得 或 .
18. 已知函数 的定义域为 ，若 ，使得 ，且 为有限个，则称 为“有
限对偶函数”， 称为 的对偶点，
（1）证明： 为有限对偶函数，且对偶点唯一；
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（2） 都满足 ，
（ⅰ）若 是“有限对偶函数”，证明 有 2 个极值点；
（ⅱ）若 ，证明： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义令 ，解得 ，即可得证；
（2）（ⅰ）根据 ，令 可得 ，结合新定
义可得 ，即可对 求导，根据导函数得正负确定函数单调性，结合极值定义求证；（ⅱ）根
据 条 件 求 得 的 值 ， 欲 证 ， 即 证 ， 构 造
求导，确定函数的最值即可求解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，即
解得 ，所以 只有一个对偶点，且对偶点为 0，
所以 为有限对偶函数，且对偶点唯一
【小问 2 详解】
令 ，有 ，即
代回原式，有 ，
所以 ， 为常数
（ⅰ） ，
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若 是“有限对偶函数”，则方程 有解，
所以
所以函数 ，
判别式 ，所以导函数总存在两个相异零点 ，
不妨设 ，所以函数 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
所以函数 有两个极值点．
（ⅱ）若 ，则 ，所以 ，
欲证 ，即证
令 ，
令 ，得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，即 成立，
当且仅当 时，等号成立，
即 得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤:
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
19. 已知直线 ，双曲线 ，圆 ，
（1）当 时，求双曲线的离心率；
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（2）若直线 与圆 相切，证明： 与 的上下两支各有一个公共点；
（3）设直线 与 轴交于点 ，且与圆 交于点 ，与 的上下两支交于点 ，从上到下依次为
，当 时，是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在
【解析】
【分析】（1）把 时代入，进而求出双曲线离心率.
（2）由相切可得 ，把直线方程与双曲线方程联立，利用判别式及韦达定理推理得证.
（3）把直线方程与圆及双曲线方程分别联立，利用韦达定理，结合数量积关系列出关于 的方程求解.
【小问 1 详解】
当 时，双曲线 的实半轴 ，半焦距 ，
所以双曲线 的离心率 .
【小问 2 详解】
由直线 与圆 相切，得 ，即 ，
由 消去 得 ，即 ，
由 恒成立，得 与 有两个不同的交点，且两根之积为 ，
即该方程的两根一正一负，所以直线 与 的上下两支各有一个公共点.
【小问 3 详解】
存在， ，
由直线 与圆 相交，得 ，即 ，由直线 与双曲线 相交及（2）知，
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方程 中， ，即 ，
而 ，且 ，则 ，
设 ，由（2）得 ，
由 ，得 ，则 ，
由 ，且四点共线，得 ，则 ，
即 ，则 或 ，因此 ，即 ，
整理得 ，即 ，
于是 ，化简得 ，解得 ，符合题意，
所以存在 ，使得 .
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