2025年中考押题预测卷：数学（山东济南卷）（解析卷）

这是一份2025年中考押题预测卷：数学（山东济南卷）（解析卷），共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
1．（本题4分）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义．
根据相反数的定义即可得解．
【详解】解：根据相反数的定义可得，的相反数是．
故选：．
2．（本题4分）如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左面看，看到的图形可以分为三部分，从下到上依次为长方形，梯形，正方形，再结合还有一个手把即可得到答案．
【详解】解：从左面看，看到的图形下面一部分是一个长方形，紧挨着长方形的上面是一个梯形，梯形上面是一个正方形，且长方形中有一条从上而下的竖线，即看到的图形如下：
，
故选：B．
3．（本题4分）为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍224000000平方米．其中数据224000000用科学记数法表示是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可求解．
【详解】解：；
故选：B．
4．（本题4分）若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的问题，设这个多边形的边数为n，根据“正多边形的外角和是其内角和的”列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，
故选：C．
5．（本题4分）如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
【详解】解：如图，作，则，

∴，，
∵，
∴，
故选B．
6．（本题4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了去括号，合并同类项，同底数幂的乘法，根据去括号，合并同类项，同底数幂的乘法的运算法则判断即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算正确，符合题意；
故选：．
7．（本题4分）2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种，
∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为，
故选：B．
8．（本题4分）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．2C．D．－2
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由于，是一元二次方程的两根，可得到，，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故选：B．
9．（本题4分）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图可知为的角平分线，即得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，即可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10．（本题4分）如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（ ）
A．①③⑤B．①②③C．①③④⑤D．②③⑤
【答案】A
【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误．
【详解】解：由图可知，，，
四边形是矩形，
，．
，
，
．
对于①，当时，点在上，点在上，且，
是等腰三角形，①正确；
对于②，，②错误；
对于③，，，
当时，点在上，点在处，
，③正确；
对于④，如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形；
以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形；
作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形．
综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，④错误；
对于⑤，是直角三角形，
当且仅当点在上时，与相似，此时，，且，
或，
即或，
解得或（舍去）．
当与相似时，，⑤正确．
综上可得，正确的有：①③⑤．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.
11．（本题4分）若函数有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查求自变量的取值范围及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0是解题的关键．
根据分式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据白球的频率得到相应的等量关系成为解题的关键．
先求得摸得白球的概率，设盒子中共有白球x个，再根据概率的定义列出方程求解即可．
【详解】解：∵共试验200次，其中有120次摸到白球，
∴白球所占的比例为，
设盒子中共有白球x个，则，解得：．
故答案为：15．
13．（本题4分）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键．作于K，过E点作于P．可得，可得点E到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解m即可，可得，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，作于K，过E点作于P．
∵，
∴，
∴，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
14．（本题4分）某电信公司手机的收费标准有，两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 ．
【答案】20
【分析】本题考查一次函数，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解方法．
利用待定系数法求出两者的函数解析式，再分别求出当时，y的值，再求它们的差．
【详解】解：设A类的解析式为，
把点，代入解析式，
得，解得，
∴，
设B类的解析式为，
把点代入解析式，
得，解得，
∴，
当时，A类，B类，
．
故答案为：20．
15．（本题4分）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可．
【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为，
设正方形的边长为2，，
则有，半圆的半径，，
∵为直径，
∴切半圆于点，切半圆于点，
∵切半圆于点，
∴，，
∴，，
∴在中，可有，
即，解得，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴正方形的面积，
阴影部分的面积，
∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键．
三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题7分）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算．利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂进行计算即可．
【详解】解：
17．（本题7分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，把解集表示在数轴上；分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
则不等式组的解集为：；
在数轴上表示如下：
18．（本题7分）如图，点E是的中点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证明．
【详解】证明：点E是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
19．（本题8分）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
（1）过作于点，先解得到的长，再解，求出的长，则可求出的长，进而求出的长即可得到答案；
（2）过作交的延长线于解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：过作于点，
，
，，
∴在中，，
在中，，
，
，
，
，
答：的长度为．
（2）解：过作交的延长线于
，
．
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
20．（本题8分）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，先证明，然后利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）证明，然后利用相似三角形的性质求出，由圆周角定理得到，即可求解面积．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（本题9分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题．
(1)补全频数分布直方图；
(2)墨汁盖住的数字共________个，若第四组学生的平均运动时间为，求第四组中被盖住的数字；
(3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是________；
(4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)
(4)该校约有人每天运动时间不少于分钟
【分析】本题主要考查了统计表、统计图、利用样本估计总体．解决本题的关键是根据统计表、统计图中的已知信息，得到未知信息．
由统计表和统计图中的信息分别求出第一、二、四组的人数，补全频数分布直方图即可；
根据频数分布直方图中各组的人数和统计表中每个组显示的人数，分别求出每个组被盖住的人数，即可得到墨汁盖住的人数；
根据第四组的人数求出第四组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第四组的圆心角度数；
利用样本估计总体，估算该校每日本运动时间不少于分钟的人数．
【详解】（1）解：由统计表可知第一组有人，
由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的，
第二组的人数有人，
由频数分布直方图可知第三组有人，
第四组的人数为人，
补全频数分布直方图如图所示：
（2）解：由可知第二组共有个数字，
第二组被墨汁盖住了个，
第三组共有个数，
第三组被墨汁盖住了个数，
第四组共有个数，
第四组被墨汁盖住了个数，
墨汁一共盖住了个数字；
第四组中被盖住的有一个数设这个数为，
，
解得：；
被盖住的数字为；
故答案为：
（3）解：一共调查了名学生，第四组中有名学生，
第四组中学生的人数占总人数的，
扇形统计图中第四组的圆心角的度数是，
故答案为：；
（4）解：由统计表可知第二、三、四组的学生每日运动时间不少于分钟，
利用样本估计总体，可得：，
该校约有人每天运动时间不少于分钟．
22．（本题10分）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元．
(1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？
(2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元
(2)当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案．
（1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可；
（2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可．
【详解】（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，
由题意知： ，
解得，
答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元．
（2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，
由题意知：，
解得：，
设这批书签全部售出后获利W元，
则，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，，W有最大值，元．
答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元．
23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．

(1)求直线的表达式；
(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）先求出的值，再利用待定系数法即可求解；
（2）联立方程组得求出点B的坐标，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，利用平行线成比例求出，再求出，求出直线的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可求解；
（3）取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，分点E在y轴上，设点E的坐标为，点E在x轴上，设点E的坐标为，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将代入，
，
即，
将代入，
，
直线的表达式为；
（2）解：直线与反比例函数交于点A，B，
联立方程组得
解得，
，
过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，
，
，
，
在中，当时，，
，
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为，
直线与x轴交于点D，
，
直线与x轴交于点G，
，
，
；
（3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，
为的直径，
，
是的中点，
，
当点E在y轴上时，设点E的坐标为，
，
，
，，
当点E在x轴上时，设点E的坐标为，
，
，
，，
综上所述，点E的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，平行线成比例，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（本题12分）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值．
【答案】(1)
(2)点的横坐标为或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可；
（3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，即，
∵，，
∴，，，
∴为等边三角形，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
连接、，
∵与相似，
∴当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的横坐标为；
当时，，即，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去）；
此时点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或；
（3）解：设，，，
由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，
∴，，
设直线的解析式可得，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵直线和交于点，
∴，
由①可得：，由②可得：，
∴，
整理可得：
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
25．（本题12分）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则：
①________；
②与的关系是________；
【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值．
【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3）
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
（1）①根据矩形的性质和判定证明四边形和四边形都是矩形，求出各个线段的长，再利用勾股定理即可得到答案；
②由，即可得到结论；
（2）证明四边形和四边形都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论；
（3）作交的延长线于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，证明四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可．
【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，，
，
，
过点作，分别交，于点，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
过点作，分别交，反向延长线于点，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）作交的延长线于点，则，
，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，
，
，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
的最小值为．
小亮小明