新疆哈密市第二中学2024-2025学年高二(26届)下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份新疆哈密市第二中学2024-2025学年高二(26届)下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了 设函数满足，则， 已知，则等于， 设，，，则， 下列导数运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 设函数满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有
A 37种B. 1848种C. 3种D. 6种
3. 曲线在处切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A. B. C. D.
4. 已知，则等于（ ）
A. 12B. 7C. 6或13D. 6
5. 的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A. B.
C. D.
6. 现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）

A. 720种B. 1440种C. 2880种D. 4320种
7. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，，，则（ ）
A B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（ ）
A. 从到，蜥蜴体温下降了
B. 从到，蜥蜴体温的平均变化率为
C. 当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是
D. 蜥蜴体温瞬时变化率为时的时刻
11. 已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知函数，曲线在点处的切线方程为__________．
13. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为______．
14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.
四､解答题（共5小题，满分77分）
15. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上最大值和最小值.
16. 已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17. 设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
18. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为千万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多千万元．
（1）分别求甲、乙超市第n年销售额的表达式；
（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
19. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意的，有；
（3）若，证明：．
2024-2025学年下学期高二（26届）
数学学科3月月考试卷
第I卷（选择题）
一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 设函数满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.
【详解】，
故选：B
2. 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有
A. 37种B. 1848种C. 3种D. 6种
【答案】A
【解析】
【分析】
利用分类加法原理，分类进行求解.
【详解】取法分为三类：第一类：从语文书中取1本，有12种取法；第二类：从数学书中取1本，有14种取法；第三类：从英语书中取1本，有11种取法；所以共有12+14+11=37种取法.
故选：A.
【点睛】本题主要考查分类加法原理，合理分类是求解的关键，题目比较简单.
3. 曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对函数求导，求在x＝1处的导数值即为切线斜率，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．
【详解】∵y＝ex+1，∴y'＝ex，∴f'（1）＝e，f（1）＝1+e，
在点（1，1+e）处的切线方程为：y﹣1﹣e＝e（x﹣1）,即y=ex+1,
与坐标轴的交点为：（0，1），（﹣，0），
S＝，
故选A．
【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率，考查函数在某点处的切线方程的求法，属基础题．
4. 已知，则等于（ ）
A. 12B. 7C. 6或13D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案.
【详解】由题意，，即，
化简可得，即，解得或
因为，所以，故
故选：D.
5. 的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数与函数单调性关系可得出合适的选项.
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
6. 现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）

A. 720种B. 1440种C. 2880种D. 4320种
【答案】D
【解析】
【分析】第一步完成3号区域有6种不同方法，第二步完成1号区域有5种不同方法，第三步完成4号区域有4种不同方法，第四步完成2号区域有3种不同方法，第五步完成5号区域有4种不同方法，第六步完成6号区域有3种不同方法，最后求出不同的涂色方法即可
【详解】解：根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
所以不同的涂色方法：种.
故选：D.
【点睛】本题考查分步乘法计数原理解决涂色问题，是基础题.
7. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数恒成立，由判别式求解可得.
【详解】，
因为三次函数在上是减函数，
所以恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数求得的单调性和最小值，得到，得出；再构造函数，求得在上递增，结合，得到，即可求解.
【详解】构造函数，则，
令时，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以函数在处取最小值，所以，（且），
可得，所以；
再构造函数，可得，
因为，可得，，所以，在上递增，
所以，可得，即，所以，
综上可得：.
故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用求导公式逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（ ）
A. 从到，蜥蜴体温下降了
B. 从到，蜥蜴体温的平均变化率为
C. 当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是
D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，分别求出和时的蜥蜴体温，即可得到从到的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出，令，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令，求出的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻.
【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确；
对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确；
对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确；
对于D，令，解得，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】构造函数，由已知求导可得在上单调递减，即可比较A正确，C错误，又是的唯一零点，所以，借助单调性可得，，即得B正确，D错误.
【详解】令，则，由题意知，
所以，即上单调递减，所以，，故A正确，C错误.
又是的唯一零点，所以，又在上单调递减，
所以，，即，，故B正确，D错误.
故选：AB.
三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知函数，曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的运算求出原函数的导函数，应用导数的几何意义求切线方程即可.
【详解】由题设，且，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：
13. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义，结合物理相关知识即可得解.
【详解】因为，所以，
则该质点在时的瞬时速度为.
故答案为：.
14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据有三个不同的零点，可推出具有三个不同的解，可得与的图象共有三个交点，构造函数，求解的范围.
【详解】根据有三个不同的零点，
则具有三个不同的解，
可得与的共有三个解，
构造函数，则，故，则，
当，，当，，
所以，当时，，当时，，
所以或，解得或，
故的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】函数的零点问题转化为方程的解或函数的交点问题即可求解参数范围.
四､解答题（共5小题，满分77分）
15. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）递增区间为，；递减区间为
（2）最大值为59，最小值为-49
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，然后求导，解不等式，得到单调区间；
（2）根据函数的单调性求出极值和端点值，比较后确定最值.
【小问1详解】
的定义域为R，且.
解得或，所以递增区间为，；
解得，所以递减区间为.
【小问2详解】
由（1）可知，的变化如下表
所以函数在上的最大值为59，最小值为-49.
16. 已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列通项公式；
（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得.
【小问1详解】
设的公差为，因为是的等比中项，故，
即，
整理得：，又，故可得；
又，即，故，，
解得，，；
故，.
【小问2详解】
由（1）可知，，故，
故
.
故数列的前项和.
17. 设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性；
（2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可.
【小问1详解】
由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
【小问2详解】
由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
18. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为千万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多千万元．
（1）分别求甲、乙超市第n年销售额的表达式；
（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
【答案】（1）甲超市第n年销售额为，乙超市第n年销售额为
（2）乙超市将被甲超市收购，至少第6年
【解析】
【分析】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，利用即可求出，利用累加法求出即可；
（2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用得到，通过得到，代入具体的值即可
【小问1详解】
设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，
假设甲超市前年总销售额为，则，
当时，，
易得不满足上式，故；
时，，
故，
显然也适合，故；
【小问2详解】
甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下：
①因为，，当时，，
所以甲超市不可能被乙超市收购；
②设即，即，
设，
令
即，解得，所以
，
，
所以，解得，
综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购
19. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意的，有；
（3）若，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出导函数，再令根据导函数的单调性得出极值.
（2）先构造函数，再求导得出函数单调性，得出函数最小值，得出，同乘即可得出证明不等式；
（3）先构造函数，应用单调性可得，再分，三种情况分别证明即可.
【小问1详解】
因为，
令，
又因为单调递减；单调递增；
所以的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
令，
可得，令，
单调递增，，
单调递减；
单调递增；
所以，
所以，
所以，即得，
所以
【小问3详解】
对任意的，令，
所以
令
单调递增，，
单调递减，
所以设，则即
可得，
当单调递增，所以，可得
所以，
当单调递减，所以，可得
所以，
当
因为单调递增，所以，可得可得，
因为单调递减，所以，可得可得，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：先构造函数，根据导函数得出函数单调性，应用单调性可得，再把分为，三种情况分别证明即可.
x
-3
（-3，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，3）
3
+
0
-
0
+
-49
单调递增
极大值11
单调递减
极小值-1
单调递增
59