新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高三下学期2月月考数学试卷（Word版含解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高三下学期2月月考数学试卷（Word版含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则＝( )
A. B. C. D.
2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知α是第四象限角，且，则
A 13B. C. D.
7. 已知平面向量和，则“”是“”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知，均为锐角，且满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 一组数据19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位数为34
B. 展开式中项的系数为1120
C. 相关系数，表明两个变量相关性较弱
D. 若，则
10 若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如果一个棱锥底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A. 棱的高与底边长的比为B. 侧棱与底面所成的角为
C. 棱锥的高与底面边长的比为D. 侧棱与底面所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．
14. 鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中、、，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为__________.(假定烹煮的食物全在四棱台内)
15. 已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是___________.
16. 已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）点D在线段AC上，且，若的面积为，，求BD的长．
18. 直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．
(1) 若，求的值；
(2) 若，求直线与平面所成的角．

19. 已知函数
（1）当时，设导函数为，若在定义域范围内恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，
20. 记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式：
（2）若，数列的前项和为，求证：．
21. 高一年级某个班分成8个小组，利用假期参加社会公益服务活动每个小组必须全员参加，参加活动的次数记录如下：
Ⅰ从这8个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报求“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率；
Ⅱ记每个小组参加社会公益服务活动的次数为X．
求X的分布列和数学期望EX；
至几小组每组有4名同学，小组有5名同学记“该班学生参加社会公益服务活动的平均次数”为，写出与EX的大小关系结论不要求证明．
22. 已知函数（为自然对数的底数），.
（1）若在单调递减，求实数的取值范围；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.组别
参加活动次数
3
2
4
3
2
4
1
3
乌鲁木齐市第23中学 高三月考
数 学 试 卷
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则＝( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法与交集的概念求解．
【详解】，所以，
故选：D
2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算得，结合相关概念：若则和可得结果．
【详解】，则，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限
故选：A．
3. 已知向量，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用向量的坐标运算即可求得.
【详解】因为向量，
所以.
故选：B
4. 已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得在上单调递增，讨论和两种情况可求出.
【详解】对任意，且，都有，
在上单调递增，
的对称轴为，
当时，开口向下，单调递减，不符合题意；
当时，开口向上，要在单调递增，则，解得，
综上，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数，解题的关键是判断出在上单调递增.
5. 已知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，可得，利用，即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，
若，则 ，即，
设椭圆的离心率为,则，
故选：D
6. 已知α是第四象限角，且，则
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平方关系解得，再根据半角公式得值.
【详解】因为,所以，因为α是第四象限角， 所以 ，
因此.
故选:B.
【点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
7. 已知平面向量和，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
两边平方得出，展开等价变形得出，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
则“”是“”的充分必要条件
故选：C
【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.
8. 已知，均为锐角，且满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知等式利用两角差的正弦公式和同角三角函数的商数关系化简得，结合基本不等式可得，由正切函数的单调性可得的最大值.
【详解】由，得，
即，化简得，
则，
所以，
由为锐角，，则有，
当且仅当，即时等号成立，
，
由，函数在上单调递增，
所以的最大值为.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 一组数据19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位数为34
B. 展开式中项的系数为1120
C. 相关系数，表明两个变量相关性较弱
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】一组数据从小到大重新排列由中位数定义可判断A；利用展开式的通项可判断B；根据相关系数定义及意义可判断C；根据正态分布的对称性可判断D.
【详解】对于A，一组数据从小到大重新排列可得19，24，25，28，32，36，43，45，45，57，
所以中位数为，故A正确；
对于B，设展开式的通项为，令，可得
展开式中项的系数为，故B正确；
对于C，相关系数取值一般在~1之间，绝对值越接近1说明变量之间的线性关系越强，绝对值越接近0说明变量间线性关系越弱，相关系数r的绝对值一般在0.8以上，认为两个变量有强的相关性，0.3到0.8之间，可以认为有弱的相关性，0.3以下,认为没有相关性，所以相关系数表明两个变量相关性较强，故C错误；
对于D，若，则，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意结合指数幂运算和对数运算，可得，再对，，三种情况进行分类讨论，即可得到结果.
【详解】由题意，原式，可变换为，即；
当时，，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；
当时，，所以，所以，即；
当时，，所以，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；
综上：.
故选：BC.
11. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】使用定义判断每个函数的奇偶性，并利用常见函数的单调性判断每个函数的单调性.
【详解】对于A：，故为奇函数，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以A正确；
对于B：，，故在区间上不是单调递增，故B错误；
对于C：故为奇函数，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以C正确；
对于D：，在区间上单调递减，所以也是递减，故D错误；
故选：AC.
12. 如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A. 棱的高与底边长的比为B. 侧棱与底面所成的角为
C. 棱锥的高与底面边长的比为D. 侧棱与底面所成的角为
【答案】AB
【解析】
【分析】设四棱锥的高为，底面边长为，由得，然后可得侧面积为，运用导数可求出当时侧面积取得最小值，此时，然后求出棱锥的高与底面边长的比和即可选出答案.
【详解】
设四棱锥的高为，底面边长为
可得，即
所以其侧面积为
令，则
令得
当时，单调递减
当时，单调递增
所以当时取得最小值，即四棱锥的侧面积最小
此时
所以棱锥的高与底面边长的比为，故A正确，C错误
侧棱与底面所成的角为，由，可得
所以，故B正确，D错误
故选：AB
【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．
【答案】27
【解析】
【分析】运用加法分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可.
【详解】当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为；
当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为，
所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为，
故答案为：27
14. 鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中、、，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为__________.(假定烹煮的食物全在四棱台内)
【答案】
【解析】
【分析】延长、、、必交于一点，该点记为，过点作平面于，作面于，则与所在直线重合，根据比例关系即可求出、OG、OH，根据即可求得答案．
【详解】∵几何体为四棱台，则延长、、、必交于一点，该点记为，
由得：．
过点作平面于，作面于，则与所在直线重合，可得，
又，解得，，
∴．
故答案为：．
15. 已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出函数的图象，可得，且设，.将用表示出来，可得，借助导函数求出，的最小值即可.
【详解】与函数均是单调函数.
作出函数的图象，由图可知，当时，方程有两不等实根.不妨设，.
则，，即，.
则.
令，，则.
当时，有，单调递减；
当时，有，单调递增.
所以，在时，取得唯一极小值，也是最小值.
故答案为：.
16. 已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定理、投影向量的定义进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
由，可设，，

得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）．
因为是的角平分线，
且，
所以也为的角平分线，为的内心．
如图，设，
则由双曲线与内切圆的性质可得，，
又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是识别三角形内心的表达式，利用切线长定理进行求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）点D在线段AC上，且，若的面积为，，求BD的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式化简即可得解；
（2）先根据三角形的面积公式及已知求出，再利用余弦定理即可得解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
即，
即，
又，所以，
又，所以；
【小问2详解】
由，得，
又，则，
则，解得，所以，
则，
所以，
所以.
18. 直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．
(1) 若，求的值；
(2) 若，求直线与平面所成的角．

【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.
试题解析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则,，，
，
由得，即
解得．
(2) 解法一：此时

设平面一个法向量为
由得
所以
设直线与平面所成的角为
则
所以直线与平面所成的角为
解法二：联结，则，
，平面
平面
所以是直线与平面所成的角；
在中，
所以
所以
所以直线与平面所成的角为
点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为或相减为，且满足.
19. 已知函数
（1）当时，设的导函数为，若在定义域范围内恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，由函数的单调性确定函数的最小值，令最小值大于等于0，求实数的取值范围；（2）分类讨论，和两种情况，当时，构造函数，利用导数求函数的最小值，证明不等式.
【详解】（1） 令
， 在单减，在单增
的最小值，所以
（2）（ⅰ）当时，
成立
（ⅱ）当时，设，则
设，则
，即在上单调递增
即
在在单调递增
即
综上可知，时，
【点睛】关键点点睛：本题第二问求函数的最小值时，需判断函数的单调性，一般求函数的导数以后，不能判断导数的正负时，需重新设影响正负那一部分为新的函数，再求导数，判断函数的单调性.
20. 记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式：
（2）若，数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公和数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的通项公式可得结果，
（2）讨论时，不等式成立，证明时，，再利用错位相减法求和与不等式性质，可证得结论.
【小问1详解】
当时，，
因为是公差为2的等差数列，
所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，
所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，
所以，所以，
【小问2详解】
证明：由（1）可得，
当时，，当时，，
可用数学归纳法证明：当时，，成立，
假设时，成立，
则当时，，
所以当时，，
所以，
令，则
，
所以
，
所以，
所以，即
21. 高一年级某个班分成8个小组，利用假期参加社会公益服务活动每个小组必须全员参加，参加活动的次数记录如下：
Ⅰ从这8个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报求“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率；
Ⅱ记每个小组参加社会公益服务活动的次数为X．
求X的分布列和数学期望EX；
至几小组每组有4名同学，小组有5名同学记“该班学生参加社会公益服务活动的平均次数”为，写出与EX的大小关系结论不要求证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】Ⅰ根据题意知从8个小组中随机选出2个小组的基本事件数，计算所求的概率值；
Ⅱ由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的频率值，写出X的分布列，求出数学期望值；
由至几小组每组的同学数，结合题意得出．
【详解】解：Ⅰ从这8个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报，
基本事件总数为，
选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等包含的基本事件个数为，
“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率为；
Ⅱ由题意知，随机变量X的可能取值为1，2，3，4；
则，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望为；
由至几小组每组有4名同学，小组有5名同学，且每一组对应的数据知，．
【点睛】本题考查了古典概型的概率求法问题，离散型随机变量的分布列与期望，也考查了组合知识的应用问题，是中档题．
22. 已知函数（为自然对数的底数），.
（1）若在单调递减，求实数的取值范围；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可将问题转化为在上恒成立，进而参变分离转化求函数的最值可得结果；
（2）由已知得到问题的等价不等式对一切恒成立，进而参变分离得到对一切恒成立，构造新函数，求最值即可.
【小问1详解】
解：在单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立，
设，，需即可，
，，则，
在单调递增，
，
故；
【小问2详解】
由题意，不等式对恒成立，则对一切恒成立，
，所以，
原命题等价于对一切恒成立，
对一切恒成立，
令，，
，
令，则对恒成立，
上单增，
又，
使，即①，
当时，，即在递减，
当时，，即在递增，
，
由①，，
设，，则，
函数在单调递增，
即，
，
实数的取值范围为.
【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.
组别
参加活动次数
3
2
4
3
2
4
1
3
X
1
2
3
4
P