四川天府新区实外高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份四川天府新区实外高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
命题人：邓露 审题人：席东
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 值为（ ）
A. B. C. D.
2. “为第一象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
3. 已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A. 5B. C. D.
4. 已知平面向量满足，且，则（ ）
A B. C. 2D. 1
5. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移
7. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（若正确选项有两项，则每选对一个给3分，若正确选项有三项，则每选对一项给2分．选错不给分．）
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 若则
D. 单位向量都相等
10. 已知函数，函数，则下列结论正确灼是（ ）
A. 函数的图象关于对称
B. 函数增区间是
C. 若，则函数的值域是
D. 函数是偶函数
11. 下列选项化简值为1有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则______．
13. 若函数，对于，均有恒成立，则______．
14. 已知函数是定义在上的奇函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到的图象，若方程在时有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设，是两个不共线的向量，已知，，．
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值．
16. （1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求值：（ⅰ）；
（ⅱ）
（2）若，求的值．
17. 如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转.
（1）试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式；
（2）在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面超过？
18. 已知
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若为锐角且，满足，求．
19. 如图，是一矩形边界上不同的两点（点在线段上），且，，，设
（1）写出的面积关于的函数关系式；
（2）求（1）中函数的值域.
（参考公式：三角形的面积公式底⋅高）
四川天府新区实外高级中学
2024-2025学年度下期高一年级数学学科第一次段考考试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
命题人：邓露 审题人：席东
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦的差角公式即可求解.
【详解】，
故选：B
2. “为第一象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若为第一象限角，则，故充分性成立，
若，则为第一象限角或者第二象限角或者终边在的正半轴上，故必要性不成立，
故选：A
3. 已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义计算求解.
【详解】根据向量数量积的定义，.
故选：B.
4. 已知平面向量满足，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的模长公式，结合数量积的计算律，计算即可.
【详解】由题意，.
故选：C.
5. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可；
【详解】因为，
，
所以，
故选：A.
6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图像左右方向平移遵循的“左加右减”原则，即可得到结论.
【详解】将函数的图象向左平移，可得到，
即函数图象.
所以，只需要将函数的图象向右平移，可得到函数的图象.
故选：D.
7. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系得到，利用正切的倍角公式得到，进而可得，再结合角的范围，即可求解.
【详解】因为，，则，所以，
则，又因为，则，
又，则，
又，，则，所以，
故选：D.
8. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简的表达式，由图象经过点，求出，再根据在上恰有2个零点，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知，
的图象经过点，故，即，
而，即，则，
故，
当，时，，
由于在上恰有2个零点，故，
则，实数的取值范围是，
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（若正确选项有两项，则每选对一个给3分，若正确选项有三项，则每选对一项给2分．选错不给分．）
9. 下列说法中不正确是（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 若，则存唯一实数使得
C. 若则
D. 单位向量都相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用共线向量、零向量、单位向量、相等向量的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，根据向量平行的定义可知，方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
对于B，如果，且是非零向量，则，但不存在实数使得，故B错误；
对于C，如果，则有，但不能得到，故C错误；
对于D，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故D错误.
故选：BCD.
10. 已知函数，函数，则下列结论正确灼是（ ）
A. 函数的图象关于对称
B. 函数的增区间是
C. 若，则函数的值域是
D. 函数是偶函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正切函数的性质可判断AB；结合正弦函数的性质可判断CD.
【详解】对于A，正切函数的对称中心为，
故对于，令，则，
当时，，即的图象关于对称，A正确；
对于B，对于，令，
解得，
即函数的增区间是，B正确；
对于C，，若，则，
故，C错误；
对于D，的定义域为R，且，
则，即函数是奇函数，
且不,恒等于0，故函数不是偶函数，D错误，
故选：AB
11. 下列选项化简值为1的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二倍角即可求解AC，根据辅助角公式即可求解BD.
【详解】对于A, ，A错误，
对于B，，B正确，
对于C, ，C正确，
对于D，
，故D错误，
故选：BC
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数性质即可求解.
【详解】由可得，结合，故，
故答案为：
13. 若函数，对于，均有恒成立，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦型函数的周期性求出系数，得到函数解析式，再代入求值即可.
【详解】由题意，函数的周期，解得，
所以.
则.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到的图象，若方程在时有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，根据奇偶性求出参数，根据题意进行图象变换得到，再根据函数单调性结合函数图象求解.
【详解】由题意，，
由是奇函数，可得，即，
.
所以，.
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到，
令时，
则时，单调递增，时，单调递减，
时，；时，.
函数的图象如图，
由图可知，若函数与直线在时有两个交点，则的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设，是两个不共线的向量，已知，，．
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明.
（2）根据向量平行的结论，求参数的值.
【小问1详解】
由已知，得．
因为，所以.
又与有公共点，所以，，三点共线．
【小问2详解】
由（1），知，若，
且，可设（），
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
16. （1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求值：（ⅰ）；
（ⅱ）
（2）若，求的值．
【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解（ⅰ），根据诱导公式即可求解（ⅱ），
（2）根据诱导公式即可化简求解.
【详解】（1）由于角的终边经过，
（ⅰ）故，
（ⅱ），
，
（2）
，
故，
17. 如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转.
（1）试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式；
（2）在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面超过？
【答案】（1）
（2）分钟.
【解析】
【分析】（1）建立以圆心为坐标原点的坐标系，根据任意角三角函数的概念表示出的纵坐标即可求解；（2）令，解三角不等式即可求解.
【小问1详解】
以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，
过圆心且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系.
以轴非负半轴为始边，为终边的角为；
点时刻所转过的圆心角为：.
若时刻时蚂蚁爬到圆环点处，
那么以轴非负半轴为始边，
为终边的角为，
则点纵坐标为，
所以
【小问2详解】
令，
即所以，
解得，
所以在一周范围内，距离地面超过持续时间为：
分钟.
18. 已知
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若为锐角且，满足，求．
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦型函数的周期性和单调性求解；
（2）代入函数解析式，计算得到，再利用两角差的正弦公式求值.
【小问1详解】
因为
所以
所以函数的最小正周期.
由可得，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，
所以
则
为锐角，
，
则，
当时，，
当时，
所以或.
19. 如图，是一矩形边界上不同的两点（点在线段上），且，，，设
（1）写出的面积关于的函数关系式；
（2）求（1）中函数的值域.
（参考公式：三角形的面积公式底⋅高）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分为：当B在EF上运动，即和当B在GF上运动，即两段进行分别讨论即可；
（2）在不同段的函数表达式根据三角函数有界性即可较易求解.
【小问1详解】
，．，又点在线段上，
当时，的两顶点、在上，且，，
，
当时，点在上，点在上，且，，
所以，
综上，.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
又，
则，，
因此，
且当时，；时，，
当时，，则，，
所以，
且当时，；当时，，
又，所以．