四川省成都市成都外国语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份四川省成都市成都外国语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项:
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数是周期为的偶函数是（ ）
A B. C. D.
4. 在中，，，则（ ）
A. B. C. 2D.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（ ）

A. B.
C D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列命题，其中叙述正确的命题为（ ）
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 向量与平行，则与的方向相同
C.
D. 若向量与不共线，则与都是非零向量
10. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为2
B
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若方程在上有两个不等实数根，则．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _______
13. 已知向量满足，，则的取值范围是____________
14. 已知函数，在区间上无零点，则的取值范围为_____________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最大值、最小值．
16. （1）已知都是锐角，且，，求的值.
（2）已知， ，求的值.
17. 某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
（2）若在上有两根，求的取值范围.
（3）若在上有两根，求
18. 已知函数.
（1）求函数的对称中心;
（2）求函数的单调减区间;
（3）若不等式对恒成立，求实数取值范围.
19. 已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.
（1）求函数解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
成都外国语学校2024-2025高一下3月月考试题
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项:
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量加法法则及相反向量的意义求解.
【详解】
故选：C
2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据角的终边，可求出，再利用诱导公式化简求解出结果.
【详解】由角的终边经过点，利用三角函数的定义求出
，
所以，
故选：A
3. 下列函数是周期为的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项.
【详解】对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件.
同时，的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.
对于函数，因为，所以是偶函数.
又因为，所以的周期是，满足题目要求，所以选项正确.
对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件.
同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以选项错误.
对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数.
但的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.
满足周期为的偶函数的函数是.
故选：B.
4. 在中，，，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式、诱导公式及和角的正切公式计算得解.
【详解】在中，由，得，则，
所以.
故选：C
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，可求得，进而可求的值.
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，
又，
所以.
故选：A.
6. 已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可.
【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图，

由图象可排除AB选项，
又,
，
，
所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点，
所以C错误，D正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
【详解】由，得
.
故选：D
8. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可.
【详解】依题意，设关于的函数解析式为，
由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得，
由转一周大约需要，得，解得，又当时，，
即，而，解得，
因此，或，A正确，BCD错误.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列命题，其中叙述正确的命题为（ ）
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 向量与平行，则与的方向相同
C.
D. 若向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的基本性质，根据向量的长度、平行、模长关系以及共线的相关知识分析逐个选项
【详解】向量与向量是大小相等，方向相反的向量，向量的长度即向量的模，
根据向量模的定义，与都表示这两个向量的长度，所以，故选项正确.
当向量与平行时，存在两种情况：与方向相同；与的方向相反.
所以不能仅仅说与平行时，它们的方向就一定相同，故选项错误.
根据向量模长的三角不等式：对于任意两个向量和，都有.
当，反向时，等号成立；当，不反向时，.
所以成立，故C选项正确.
假设与中有一个是零向量，不妨设，因为零向量与任意向量都共线，
那么与就共线了，这与已知条件“向量与不共线”矛盾，
所以若向量与不共线，则与都是非零向量，选项正确.
故选：ACD.
10. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数图象的伸缩与平移变换规律即可得出结果．
【详解】先平移后伸缩：
函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得；
先伸缩后平移：
函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即．
故AD符合题意.
故选：AD．
11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为2
B
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若方程在上有两个不等实数根，则．
【答案】BC
【解析】
【分析】首先通过图象的最值确定的值，再根据图象上两点的横坐标求出周期，进而得到的值，然后将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦函数的对称轴性质以及方程根的对称性来逐一分析选项.
【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以.
函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，即，那么，故A错误；
根据正弦型函数的周期公式（），可得，所以.
把点代入中，得到，即
因为，所以，，解得，故B正确；
由上分析可得：. 令，解得.
当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
函数的图象在上，其对称轴为，即.
若方程在上有两个不等实数根，根据正弦函数图象的对称性可知.所以，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _______
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】.
故答案为：
13. 已知向量满足，，则的取值范围是____________
【答案】[6,10]
【解析】
【分析】根据向量模长不等式.以及向量共线的情况来确定的取值范围.
【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立.
根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立.
综上，的取值范围是
故答案为：
14. 已知函数，在区间上无零点，则的取值范围为_____________
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的零点表达式，再结合函数在区间上无零点这一条件，列出关于的不等式组，进而求出的取值范围.
【详解】令，根据正弦函数的性质可知，，解关于的方程可得，.
因为函数在区间上无零点，所以不存在整数使得成立.
即存在整数使得，
对于，解第一个不等式可得，
因为，所以，即；
解第二个不等式可得，因为，所以，即.
所以，
因为,所以6k+512>0⇒k>-56，
由不等式的传递性得，
所以或.
当时，，又因，所以；
当时，.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最大值、最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入直接求出函数值.
（2）利用辅助公式化简函数，再利用正弦函数性质求出最值.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
函数，
当，即时，，
当，即时，.
所以函数的最大值、最小值分别为.
16. （1）已知都是锐角，且，，求的值.
（2）已知， ，求值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切的两角和公式和二倍角公式求解；
（2）利用两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
且，所以，
且，所以.
（2）由， ，可得，
，解得，
所以，即.
17. 某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
（2）若在上有两根，求的取值范围.
（3）若在上有两根，求
【答案】（1）图表见解析，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得；
（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.
（3）要根据正弦函数的对称性求出的值，进而得到与的关系，最后结合三角恒等变换求出的值.
【小问1详解】
补充表格:
由最大值为最小值为可知
又，故
再根据五点作图法，可得，得
故
【小问2详解】
令，则
所以=有两个根，转化为在上有两个根.
即在上有两个根.
由在的图像和性质可得：,
所以
故实数的取值范围为
【小问3详解】
函数的对称轴为，即.
因为在上有两根，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以关于对称，则，即，所以.
已知，则，其中，
则

根据诱导公式.
又因为，再根据两角差的正弦公式，可得：
所以

因为，且，所以，
则.
代入可得：
,
则.
18. 已知函数.
（1）求函数的对称中心;
（2）求函数的单调减区间;
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换可将化简为，整体代换计算可求函数的对称中心；
（2）利用正弦函数的单调性，整体代换计算即得；
（3）由题可得，利用三角函数的图象和性质可求函数在区间上的值域，进而即得.
【小问1详解】
，
令，解得，故的对称中心为 .
【小问2详解】
令，
得.
所以函数的严格减区间为.
【小问3详解】
因为，所以，
所以，
即当时，，.
因为对恒成立，
所以，
即.
19. 已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可求得参数，根据三角函数的图象的平移以及函数的奇偶性求得，即得函数解析式；
（2）根据，求得函数的范围，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解，即可求得参数范围；
（3）令，求得函数零点的表达式，根据题意判断相邻两个零点之间的距离为或，根据区间内零点个数即可确定答案.
【小问1详解】
由,得，则,
则为奇函数，所以，又，则，
故.
【小问2详解】
由于，则，，
故,
而恒成立,即，
整理可得，令，
设，设且，
则，
由于，则，
即在上递增，故，
故，即m取值范围是.
【小问3详解】
由题意知，
由得,
故或,
求得或，
故函数的零点为或,
∴相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则a和b都是零点，此时在区间分别恰有个零点，
所以在区间是恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点，
∴，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此的最小值为.
【点睛】难点点睛：解答第三问根据零点个数求解区间端点处的值的差的最小值时，要求出函数零点，判断两点间的距离，从而判断要满足题意，区间内的零点情况，从而求出的最小值.