四川省绵阳市北川羌族自治县五校联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省绵阳市北川羌族自治县五校联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了 下列式子一定是二次根式的是， 化简的结果是， 已知， 下列说法中，不正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A B. C. 且D. 且
4. 已知：中，，D为边上一点，，，于H，延长线交于E，则的长为（ ）
A B. C. D. 1
5. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形
6. 如图，在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（ ）
A. B. C. 2D.
7. 甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A. 南偏西B. 北偏东C. 南偏东D. 南偏西
8. 如图，一根长为25m的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动至D处则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为( )

A. B. C. D.
9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把最小的一个正方形按图2的方式放入较大的正方形内，然后把最大的正方形沿BC翻折，记△EHP和正方形ADNM的面积分别为，.若点N，M，G三点共线，且满足，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ）
A B. C. D.
11. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（ ）
A. 5.5B. 6.4C. 7.4D. 8
二．填空题（每小题3分，共18分）
13. 若有意义，则化简：________．
14. 已知，求的值为_______．
15. 已知，，则的值为______．
16. 已知关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是______．
17. 在中，有两边的长分别为2和4，则第三边的长是______．
18. 如图，中，，，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部上时，的取值范围为____________________．
三．解答题（共46分）
19 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20. 解分式方程： ．
21. 已知，求的值
22. “你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2020年，一场新冠肺炎疫情牵扯着所有人的心，各界人士齐心协力，众志成城．针对防控资源紧缺问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工7天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服15000套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
23. 已知：如图，在中，，，是边上中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D．
（1）求证：；
（2），求的长．
24. 如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，与相交于点O．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的长．
四川省绵阳北川五校联考2024-2025学年八年级下学期4月月考试卷
数 学
一．选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意；
B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意；
C、是三次根式，选项说法错误，不符合题意；
D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
2. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算可直接进行求解．
【详解】解：；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算是解题的关键．
3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】由题意得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查求函数自变量取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是关键．
4. 已知：中，，D为边上一点，，，于H，延长线交于E，则长为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得出，证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
故选：A．
5. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，以及有一个为直角的三角形是直角三角形，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、设三个角的度数分别为x，3x，4x，则x+3x+4x=180°，解得：x=22.5°，则三角形的三个内角分别比为22.5°，67.5°，90°，则该三角形是直角三角形，故本选项正确，不符合题意；
B、设三个角的度数分别为3x，4x，5x，则3x+4x+5x=180°，解得：x=15°，则三角形的三个内角分别比为45°，60°，75°，则该三角形不是直角三角形，故本选项错误，符合题意；
C、设三边长度分别为3x，4x，5x，因为（3x）2+（4x）2=（5x）2，所以该三角形是直角三角形，故本选项正确，不符合题意；
D、设三边长度分别为5x，12x，13x，因为（5x）2+（12x）2=（13x）2，所以该三角形是直角三角形，故本选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形是解题的关键．
6. 如图，在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的点表示无理数，根据勾股定理得出，进而得出，即可解答．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴则P点对应的实数是，
故选：B．
7. 甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A. 南偏西B. 北偏东C. 南偏东D. 南偏西
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，平角以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提．
根据方向角的定义画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理可以得到是直角三角形，再利用平角的定义即可求出的方向角即可．
【详解】解：如图，
由题意得，，
，
，
，
，
即的方向为南偏西，
同理可得，的方向也可为北偏东，
故选：A．
8. 如图，一根长为25m的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动至D处则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可得，，，由，，即可求解．
【详解】解：由题意得
，，，
，
在中
，
在中
，
（），
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握解法是解题的关键．
9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把最小的一个正方形按图2的方式放入较大的正方形内，然后把最大的正方形沿BC翻折，记△EHP和正方形ADNM的面积分别为，.若点N，M，G三点共线，且满足，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接，由正方形的性质及已知，；设中，，，由题意得，由正方形的性质可证明，则，
，同理可证，，则H是的中点，从而可证得，可得点P是的中点，可得，则由可求得的值，再由阴影部分面积等于梯形面积减去即可求得最后结果．
【详解】如图，连接，
点N，M，G三点共线，由正方形ADNM的性质得，；
设中，，，由题意得，
，
，
，，
，则，；
同理可证，
，则H是中点，
，
，，
，
即点P是的中点；
，，
，
，
即，
，
阴影部分面积等于梯形面积减去，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了与勾股定理有关的几何问题，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．
10. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质得出，，，然后根据等边对等角得出，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出，设，根据勾股定理得出，根据线段的和差及勾股定理得出，最后再化简即可得出答案．
【详解】四边形为矩形
，
将矩形沿翻折，
，，
设
在中，
故选B．
11. 化简的结果是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将异分母分式通分，即可化简．
【详解】解：原式
故选：B
【点睛】本题考查异分母分式的减法运算．找到最简公分母进行通分是解题关键．
12. 如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（ ）
A. 5.5B. 6.4C. 7.4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB，根据垂线段最短，求出CP的最小值即可解决问题．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴,
∵AP+BP+PC=CP+AB=CP+5，
根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP的值最小，最小值，
∴AP+BP+CP的最小值=5+2.4=7.4，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法，属于中考常考题型．
二．填空题（每小题3分，共18分）
13. 若有意义，则化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和性质，掌握二次根式有意义的条件和性质是解答本题的关键．
先根据有意义，得出，再将化简为，再根据化简出结果．
【详解】解：若有意义，则，
，
故答案为：．
14. 已知，求的值为_______．
【答案】23
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据题意可得，再求出，然后利用完全平方公式变形求值即可得．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴
，
故答案为：23．
15. 已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，将因式分解为，把已知条件整体代入，运用二次根式的运算法则即可求解．熟练掌握因式分解和二次根式的计算法则是解题的关键．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：
16. 已知关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数和不能有增根列式求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：
解得，
∵分式方程的解为负数，且，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出是解题的关键，注意一定要舍去增根的情况．
17. 在中，有两边的长分别为2和4，则第三边的长是______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分情况讨论：①当2，4为直角边时，求得斜边的长度；②当2为直角边，4为斜边时，求得另外一条直角边的长度．
【详解】分两种情况：
①当2，4为直角边时，第三边为：；
②当2为直角边，4为斜边时，第三边为：．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，二次根式的化简，本题中讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．
18. 如图，中，，，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部上时，的取值范围为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边上），即可得到的取值范围．
【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上，
，
，
，
，
在中，，
，
作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上，
由折叠可知：，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
∵点落内部（不包括边上），
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称中的折叠问题，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键．
三．解答题（共46分）
19. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）7 （4）
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）先化简各式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简各式，再合并同类二次根式即可；
（3）先化简各式，计算括号内，再算除法；
（4）先进行乘法的计算，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
．
20. 解分式方程： ．
【答案】无解
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤计算：①去分母变为整式方程；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】解：，
两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时要注意符号的变化．
21. 已知，求的值
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．根据题意得到，，代入计算即可．
【详解】解：由题意可得，，，
∴．
22. “你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2020年，一场新冠肺炎疫情牵扯着所有人的心，各界人士齐心协力，众志成城．针对防控资源紧缺问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工7天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服15000套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
【答案】（1）20人；
（2）11天．
【解析】
【分析】对于（1），设原来生产防护服的工人有x人，则实际生产防护服的工人有人，再分别用工作总量除以工作总时间表示每小时的工作量，建立方程，求出解即可；
对于（2），结合（1）求出每个工人每小时的工作量，再设至少还需要生产y天才能完成任务，根据生产7天的工作量20人生产y天的工作量15000，列出不等式，求出解集即可得出答案．
【小问1详解】
设原来生产防护服的工人有x人，则实际生产防护服的工人有人，根据题意，得
解得
经检验，是所列方程的根．
所以原来生产防护服的工人有20人；
【小问2详解】
由（1）可知，原来生产防护服的工人有20人，实际生产防护服的工人有13人；
每个工人每小时生产套防护服．
设至少还需要生产y天才能完成任务，根据题意，得
解得
所以至少还需要生产11天才能完成任务．
答：原来生产防护服的工人有20人，至少还需要生产11天才能完成任务．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等，确定等量（不等）关系是解题的关键．
23. 已知：如图，在中，，，是边上中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D．
（1）求证：；
（2），求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可．
（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答；
（2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：∵是边上的中线，
，
，
．
24. 如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，与相交于点O．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质得到，，然后证明即可；
（2）首先根据折叠的性质和题意得到，然后得到，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
∵把矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵
∴；
【小问2详解】
∵把矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
解得．
【点睛】此题考查了矩形和折叠性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．