四川省凉山州宁南中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省凉山州宁南中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 平面向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ）

A. B.
C D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但没选全的得3分，有错选得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 化成弧度是
B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为
C. 若是第二象限角，则是第一象限角
D. 第一象限角是锐角
10. 下列结论正确是（ ）
A. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底
C. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为
D. ，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
11. 如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（ ）

A. 筒车的半径为3m，旋转一周用时60s
B. 筒车的轴心距离水面的高度为
C. 盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点
D. 时，盛水筒处于向上运动状态
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简： ________.
13. 已知，满足，，，，则______．
14. 在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在CD，若，则_________.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
16. 设，是不共线的两个非零向量．
（1）若，，，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数的值．
17. 已知角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边上有一点．
（1）求值；
（2）求的值．
18. 已知函数，
（1）求最小正周期；
（2）求的对称中心；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
19. 函数（，，）部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值.
2027届高一下期第一次月考
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合要求.
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦两角和公式求解即可.
详解】.
故选：D
2. 平面向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的定义求出的值，再结合向量的模长公式即可得到结果.
【详解】因为，则
由已知，
则
故选:C．
3. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，
对于B，因为，故B错误，
对于C，因为E是的中点，所以，故C错误
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D
4. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】正用、逆用两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】即变形得：.
故选：C
5. 将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的对称性，列出方程，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，
因为的图象关于原点对称，可得，则，
又，结合选项，取，得.
故选：D.
6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的数量积坐标表示及向量的模公式，再利用投影向量的定义即可求解.
【详解】因为，，
所以，，
所以在上的投影向量是.
故选：．
7. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可.
【详解】由，
易知，令，
则由题意知.
故选：A
【点睛】思路点睛：先化简函数式，由，根据三角函数的图象结合五点作图法得出该函数在纵轴右侧的第一个零点与第二个零点分在两侧，计算即可.
8. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式，二倍角公式，同角三角函数关系式等三角公式将化简后，利用正弦函数的单调性即可比较大小.
【详解】;
,
,
因为在锐角范围内单调递增，所以.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但没选全的得3分，有错选得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 化成弧度是
B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为
C. 若是第二象限角，则是第一象限角
D. 第一象限角是锐角
【答案】AC
【解析】
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的范围判断C，举反例可判定D.
【详解】对A，根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
对B，易知终边在直线上的角的取值集合可表示为，即B错误；
对C，因为是第二象限角，所以可得，
所以，即，
所以是第一象限角，故C正确；
对D，是第一象限角，但不是锐角，即D错误.
故选：AC.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底
C. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为
D. ，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
【答案】BC
【解析】
【分析】结合单位向量、向量基底、投影向量、向量夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项．
【详解】对于A选项，单位向量的方向可以不相同，A选项错误；
对于B选项，已知平面内的一组基底，，则，不共线，
若向量，共线，则，即，得，不成立，
所以向量与不共线，也能作为一组基底，B选项正确；
对于C选项，，两边平方得，，为单位向量，则，
所以在方向上的投影向量为，C选项正确；
对于D选项，，，有，
若与的夹角为锐角，
则有且，解得且，
所以实数的取值范围为，D选项错误.
故选：BC
11. 如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（ ）

A. 筒车的半径为3m，旋转一周用时60s
B. 筒车的轴心距离水面的高度为
C. 盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点
D 时，盛水筒处于向上运动状态
【答案】AC
【解析】
【分析】根据振幅和最小正周期可确定A正确；利用可知B错误；根据正弦型函数，令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知C正确；再利用三角函数单调性的判断方法可知D错误.
【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；
的最小正周期，旋转一周用时，A正确；
对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B错误；
对于C，令，，
，解得：，
又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，C正确.
对于D，当时，，此时单调递减，
盛水筒处于处于向下运动的状态，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简： ________.
【答案】1
【解析】
【分析】借助同角三角函数关系化简即可得.
【详解】
.
故答案为：1.
13. 已知，满足，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，则，
因为，则，
所以，
，
则
故答案:
14. 在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在CD，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
建立如图所示的坐标系，得到点坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】建立如图所示的坐标系，可得，，，，
∴，，
∴，解得，即，
∴，，∴.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求得，然后由模的坐标表示计算；
（2）由向量平行的坐标表示求得，然后由数量积的坐标运算求向量夹角的余弦值．
【小问1详解】
由题意，
因为，则，得，
则，所以；
【小问2详解】
由已知，又，，
所以，得，
则，
故．
16. 设，是不共线的两个非零向量．
（1）若，，，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.（2）由共线性质求出参数即可.
【小问1详解】
证明：，
而，
与共线，且有公共点，
，B，C三点共线．
【小问2详解】
与共线，
存在实数，使得，即．
与不共线，解得，
．
17. 已知角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边上有一点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】(1) ；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义，求得，的值；（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）由题意可得，，，
∴，．
（2）．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
18. 已知函数，
（1）求最小正周期；
（2）求的对称中心；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，将化成，即可求出最小正周期；
（2）写出，令即可求解出对称中心；
（3）将等价转化为，进而转化为，求出的最大值和最小值后解不等式组即可.
【小问1详解】
,
所以最小正周期为.
【小问2详解】
令，解得：，
故的对称中心为.
【小问3详解】
若在上恒成立，
即在上恒成立，
故，
因为，，
则，所以，
故，解得：.
故实数的取值范围为.
19. 函数（，，）的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的最低点求得的值，根据图象得到函数的周期，并求得的值，代入点求得的值.由此求得函数的解析式；
（2）利用余弦函数的性质，即可求出函数的单调增区间；
（3）令，则，利用的图象可得，，又，从而得到，再利用，即可求得结果.
【小问1详解】
由图象可得，，，
，则，
，又图象过点，
所以，解得，
又，，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
由余弦函数可知，，
，，
所以函数的单调递增区间为.
【小问3详解】
由题可得，，
又因为，所以，
令，则，
设直线与的图象交点横坐标自左向右依次为，
由的图象可知，，，
且，
，又由图象知，所以，
又，，
所以，又
，
.