四川省凉山州宁南中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份四川省凉山州宁南中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列函数求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．2D．
3．设函数的导函数为，若，则=（ ）
A．B．C．D．
4．曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在其定义域内的一子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是函数的极值点B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点D．在处切线的斜率小于零
10．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，B．，都有
C．的解集为D．的单调递增区间是，
11．对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线与曲线相切于点，则 ．
13．曲线上的点到直线的距离的最小值为 .
14．函数在上单调，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，且满足
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
16．已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若，试讨论的单调性．
17．已知奇函数在处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)若，使得有解，求实数的取值范围．
18．已知关于x的函数，其图象与x轴相切．
(1)求的表达式；
(2)证明：；
(3)设数列，（），的前n项和为，证明：．
19．已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若，求函数的最小值；
(3)若有两个零点，，证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误.
故选B.
2．【答案】B
【详解】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选B.
3．【答案】C
【详解】因为，
所以，令，则，
解得：.
故选C.
4．【答案】D
【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，
所以，曲线在处的切线方程为，
该切线交轴于点，交轴于点，
因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选D.
5．【答案】D
【详解】函数定义域为，求导得，令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，由题意得，
解得：.
故选D.
6．【答案】A
【详解】当时不等式成立，
，
在上是减函数．
则，，
，
又函数是定义在上的奇函数，
是定义在上的偶函数，
则，
，
在上是减函数，
，
则，
故选A．
7．【答案】D
【详解】函数，因为，，所以，
故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以.
因为对任意的，总存在，使成立，等价于，
所以，解得，故实数a的范围是.
故选D.
8．【答案】B
【详解】不等式等价于，即.
令，由可知，
在上为增函数，
，，则，
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以结合题意可知，即实数的最小值为1.
故选B.
9．【答案】AB
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
则是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．
故选AB.
10．【答案】BD
【详解】对于A，当时，，则，
函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误；
对于B，当时，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故，
当时，；
当时，，，则，
综上，当时，，
因为函数是奇函数，所以，
当时，，故B正确；
对于C，由B可知，当时，，，
则；
当时，，，则，
因为函数是奇函数，所以当时，；当时，，
因为函数是奇函数，所以，
综上，不等式，其解集为，故C错误；
对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减，
因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减；
当时， 单调递增，故D正确.
故选BD.
11．【答案】ACD
【详解】条件①；
由选项可得，，，，即ABCD都符合；
条件②或；
即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
对于，则，
由，可得，即函数单调递增；
由，可得，即函数单调递减，满足条件②；
对于，则显然恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足条件②；
对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增；满足条件②；
对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增，满足条件②；
因此ACD满足条件②；
条件③当且时，，都有，
即，
对于，
，
令，则，令，则，故在上单调递增，， 即，所以满足条件③；
对于，，
令，，则在上显然恒成立，
所以，则，即满足条件③；
对于，，
令，，
则在上显然恒成立，所以，
则，即满足条件③；
综上，ACD选项是“偏对称函数”.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为直线与曲线相切于点，
将代入可得，解，
因为，所以
由，解得，可得，
因为点在曲线上，
所以，解得．
13．【答案】
【详解】假设是曲线上的一个动点，
当曲线在处的切线与直线平行时，所求的距离最小，设此时，
由题意得，由，得，则，
所以所求距离的最小值为.
14．【答案】
【详解】由题意可知时，时，；
因为在上单调递增，
所以时，恒成立，即，可得，
当，时，，在上单调递增，成立，
又，可得，综上可得，的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为
【详解】（1）因为，
所以，
令，即方程，
解得
（2）由（1）知，，所以，
令，即，
解得．
列表如下：
当时，单调递增：
当时，单调递减：
当时，单调递增．
所以有极大值；有极小值
又．
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
16．【答案】(1)
(2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【详解】（1）当时，，
，
，，所以切点为，
切线方程即．
（2）的定义域为，，
当时，由可得或；由可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，恒成立，函数的单调递增区间为；
当时，由可得或；由可得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是奇函数，所以，
即，所以，所以．
由，得．
因为在上取得极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在处取得极大值，
故．
（2）由（1）可知，，
当时，， 当和时，，
即在上单调递增，在，上单调递减，
所以在取得极小值，在处取得极大值，
又因为，，，，
所以在上的最大值为，最小值为，
要使得有解，则，解得，
所以的取值范围为．
18．【答案】(1)
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数的图象与x轴相切，则得代入可得.
（2），则，
则得，得
所以在上单调递增，在上单调递减，
得证.
（3）由（2）知，当时，，，即当时，，又当时，，，所以，
所以，即，，得证.
19．【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值.
（2）由题意知函数的定义域为.
，
则，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
（3）不妨设，则由（2）知，.
设，由，得，
即，
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递减，
所以，即.2
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