2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的交集运算求解即可.

【详解】解：由题知集合，

所以

故选：C

2．已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（    ）

A．-2 B．0 C．2 D．2或-2

【答案】A

【分析】由幂函数的定义求得m的值，再根据幂函数不过原点，舍去不合题意的值.

【详解】因为为幂函数，所以，解得，

当时，过原点，不合题意，舍去，

当时，不过原点，合题意，综上所述，

故选：A.

3．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：因为在上单调递增，且连续，

又，，即，

所以在上存在唯一零点.

故选：C

4．设，那么m等于（    ）

A． B．9 C．18 D．27

【答案】B

【分析】利用换底公式化简得到对数方程，求出即可.

【详解】,

，，

故选：B.

5．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据得到，然后利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为，所以，则，当且仅当，即，时等号成立.

故选：D.

6．已知函数的图象如图所示，则它的解析式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用排除法，通过函数的定义域，取特殊点验证进行分析判断.

【详解】由图象可知函数的定义域为，所以排除CD，

由图象可知，，

对于A，，所以排除A，

对于B，，符合题意，

故选：B

7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分段函数为上的减函数，则需满足每一段上为减函数，且左边的最小值不小于右边的最大值即可.

【详解】因为函数是上的减函数

所以只需，

解得.

【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.

8．设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.

【详解】因为命题“”是假命题，

所以是真命题，

又可化为，即，

当时，，

所以在上恒成立，

所以其中,，

当时有最小值为，此时有最大值为，

所以，故实数的取值范围是

故选：C

二、多选题

9．函数，，若，则实数的值可能为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】BD

【分析】首先求出，再代入中，解指数方程即可.

【详解】依题意得，，则，即，解得或者.

故选：BD

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．“，”是“”的必要条件

B．“”是“”的充要条件

C．“”是“”的充分不必要条件

D．“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件

【答案】CD

【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可.

【详解】对于A，当，时，成立，而当时，，不一定成立，如满足，而不成立，所以“，”是“”的充分条件，所以A错误，

对于B，若时，，所以由不能得到，所以B错误，

对于C，当时，，而当时，不一定属于，所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确，

对于D，若，则为无理数，而当时，为有理数，而为无理数，所以“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件，所以D正确，

故选：CD

11．已知函数，对于任意，则

A．的图象经过坐标原点 B．

C．单调递增 D．

【答案】ABD

【分析】对于A，令可判断，对于B，分别令和化简计算即可，对于C，利用单调的定义判断，对于D，令进行判断

【详解】对于A，令，则，得，所以的图象经过坐标原点，所以A正确，

对于B，令，则，再令，则，所以B正确，

对于D，令，则，因为，所以，所以D正确，

对于C，任取，且，由D选项可知，所以，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误，

故选：ABD

12．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】抓住，的特征及，逐项判断即可.

【详解】对，，定义域不关于原点对称，故A项不符合；

对，，，故B项符合；

对，，定义域不关于原点对称，故C项不符合；

对，定义域关于原点对称，

当时，，；

当时，，，故D项符合，

故选：BD

三、填空题

13．已知函数（，且），则函数恒过定点______．

【答案】

【分析】由对数函数的性质，令，求得，即可得到答案.

【详解】由题意，函数（且），

令，即时，，

所以函数恒过定点.

故答案为：.

14．已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【分析】由二次项系数非零及两根之积小于0，可得关于m的不等式组，解之即可.

【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根，

得，解得.

故答案为：

15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.

【答案】

【分析】根据x的范围，可得的范围，根据抽象函数定义域的求法，可得2x的范围，即可得答案.

【详解】由题意得，所以，

所以，解得.

故答案为：

16．已知函数，若存在（），使，则的取值范围是______.

【答案】.

【分析】先画出函数图象，由图可知关于点，从而可得，然后当时，求出函数的零点，则可求出，进而可求出结果.

【详解】的图象如图所示，

当时，，由，得，

因为存在（），使，

所以由图可得关于点，，

所以，

所以，

即的取值范围是，

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求，；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】（1）．

当时，

所以，；

（2）是的充分不必要条件

∴A是B的真子集，故

即

所以实数m的取值范围是.

18．已知函数是定义在上的奇函数，若时，

(1)求的解析式；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可；

（2）根据的范围分类直接解不等式即可..

【详解】（1）因为当时，，

任取，则，所以，

又因为是奇函数，所以，

所以.

（2）当时，由解得，

当时，由解得，

综上的解集为.

19．已知函数，.

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)若在实数集上恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据的解集为，得到的根为1和，先代入1，解，再代入即可求解.

（2）对分类讨论，再根据恒成立思路求解.

【详解】（1）由不等式的解集为，

可知且是方程的一个根，

把代入方程，解得.

解不等式得，

所以.

（2）因为在实数集上恒成立，

所以当时，在实数集上不是恒成立的.

当时，需满足，解得.

综上可知：实数的取值范围是.

20．设且，函数的图象过点.

(1)求的值及的定义域；

(2)求在上的单调区间和最大值.

【答案】(1)，

(2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为2

【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；

（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.

【详解】（1）∵函数的图象过点，

∴，∴，即，

又且，∴，

要使有意义，

则，

∴的定义域为；

（2），

令

∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减

∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2.

21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1);

(2)100（百辆），2300万元.

【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.

【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，

所以利润

  ,

故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .

（2）当时，，

故当时，；

当时，,

当且仅当， 即时取得等号；

综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．

22．已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断的单调性，并证明；

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

(3)或

【分析】（1）由求出，再验证此时的为奇函数即可；

（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；

（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.

【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，

此时，，所以为奇函数，

故.

（2）由（1）知，为上的增函数，

证明：任取，且，

则，

因为，所以，即，又，

所以，即，

根据增函数的定义可得为上的增函数.

（3）由得，

因为为奇函数，所以，

因为为增函数，所以，即，

所以或.