河南省开封市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省开封市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”的否定是，，
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题设，则或，
由，显然有、、、，
所以A、B、D错，C对.
故选：C.
3. 已知是函数的零点，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数，因为，，，则，由零点存在定理可得，又因为，，故.
故选：B.
4. 已知，是第三象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，则，
而，且是第三象限角，则，
所以.
故选：A.
5. 设、，则的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A选项，若，不妨取，，则，故“”“”，A不满足要求；
对于B选项，若，且函数在上为增函数，所以，，故“”“”，所以，是的一个充要条件，B不满足要求；
对于C选项，由可得，则，且，则，由不等式的基本性质可得，故，则，则有或，所以，“”“”，C不满足要求；
对于D选项，因为，且函数为增函数，故，可得，所以，“”“”，且“”“”，所以，“”是“”的一个充分不必要条件，D满足要求.
故选：D.
6. 已知是第一象限角，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为是第一象限角，
∴，所以则角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，，A不正确；，B不正确；由，角的终边在第一象限或第三象限，所以 ，D正确；角的终边在第三象限时，，C不正确；
故选：D.
7. 已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若，则，故，
由函数的图象关于点成中心对称图形，则.
故选：A.
8. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最大值为2
B. 函数单调递增区间是
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为
【答案】D
【解析】，
由，则，
当，即时，取最大值为3，A错；
由正弦函数的单调性，知和，
即和时，单调递增，B错；
，但不关于对称，C错；
令，则，又，
所以或或，即或或，
故所有公共点的横坐标之和为，D对.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，
选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数，
选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，
选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.
故选：AC.
10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ）
A. 偶函数
B. 任意非零有理数都是的周期
C. ，
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则，
当为无理数时，则也是无理数，则，
故当时，，故A正确；
选项B：，当为有理数时，则也是有理数，，
当为无理数时，则也是无理数，，故B正确
选项C：当为有理数时，，，
当为无理数时，，，故C正确；
选项D：若，，则，但，故D错误，
故选：ABC.
11. 如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】依题意，当 时， 在 图象下方，
所以在 图象上， 在 图象上，
所以 ， ， ，
又因为四边形为平行四边形，
所以 ，即 ，即
，
又因为 ，所以 ，
. 故A正确， B错误.
由均值不等式 ，化简可得
，当 时等号成立，
由于 ，故 ， D正确， C错误.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则________．
【答案】1
【解析】因为函数无限接近直线但又不与该直线相交，所以，又函数图象过原点，所以.
所以.所以.
故答案为：1.
13. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为________．
【答案】32
【解析】因为定义集合，且，，
又，
所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个，
则集合的子集的个数为.
故答案为：32.
14. 设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由，得；由，得，则；
由，得，则；由，得，则，
而，，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的各式的值：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）由，，得，
所以.
（2）由，得，
所以.
16. 某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差．
（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
解：（1）利润是总收入与总成本之差，所以．
（2），
所以当或时，公司获得最大利润为74120元．
17. 如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是．
（1）求圆心角的弧度数；
（2）若点的纵坐标为，求点的横坐标．
解：（1）记圆的半径为，扇形的弧长与面积分别为，，
则由得，
由得，所以圆心角的弧度数为．
（2）由题意，所以，
，
所以点横坐标．
18. 已知函数的定义域为，且，．
（1）借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和；
（2）设函数．
（i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明；
（ii）求不等式的解集．
解：（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为，
由，，得，函数为偶函数，
由，，得，函数为奇函数，
又，
所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
（2）（i）函数在区间上单调递增，
，且，
，
由，知，则，，，
因此，，所以在区间上单调递增.
（ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增，
不等式等价于，即，解之得，
所以不等式的解集为.
19. 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．
（1）求证：的周长为定值，并求出该定值；
（2）求面积的最小值．
解：（1）法一：设，，，，则，，
因为，所以，变形得①，
的周长为②，
将①变形得代入②，
所以，
又，所以，
所以的周长为定值2；
法二：延长至点，使，连接，
易得，则，，，
所以，则，
周长为.
（2）法一：
，
由①得，当且仅当时取等号③，
将③变形得，，
所以或（舍去），
所以，
所以面积的最小值为，
法二：设，，则，，
由第一问知，，
所以，
因为，所以，展开得，
由基本不等式变形可得，解得，所以，所以面积的最小值为.