河南省焦作市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题（解析版）

这是一份河南省焦作市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】因为，所以，则.
故选：A
2. 已知随机变量服从正态分布，设，则服从正态分布（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为随机变量服从正态分布，
所以均值,方差，
又因为，
所以随机变量均值为，方差为，
所以随机变量服从正态分布.
故选：C.
3. 已知是等比数列，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
则，又，解得.
故选：C.
4. 小明准备下周六去市或市（二者选其一）看演唱会，去A市的概率为，去市的概率为，若天气预报下周六A市下雨的概率为，市下雨的概率为，则小明下周六看演唱会遇到雨天的概率为（ ）
A. 0.45B. 0.24C. 0.23D. 0.21
【答案】C
【解析】依题意小明下周六看演唱会遇到雨天的概率.
故选：C
5. 如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
又，即，
所以，
因此.
故选：A.
6. 已知数列an满足，则an前100项和为（ ）
A. 2475B. 2500C. 2525D. 5050
【答案】A
【解析】由，可得，
，
所以，
令，
所以数列bn是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由于，
所以an的前100项和为2475，
故选：A
7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于A，两点，且，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意可得A，关于原点对称，不妨设点A在第一象限，连接、，
又，则四边形为矩形，
所以，则，
所以，即，即，又，
解得，
所以.
故选：D
8. 平面几何中有定理:已知四边形的对角线与相交于点,且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得，由得，
由得，
因为，对角线与相交于点，所以，
因为，所以所在直线方程为，
与联立方程组解得，
因为，所以所在直线方程为，
与联立方程组解得，
因为，
所以线段的垂直平分线方程为，
线段的垂直平分线方程为，
联立，解得，所以，
又，
所以圆的方程为.
故选：.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则的值可能为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】ABD
【解析】等比数列an的首项为1，公比为，由，
解得或或，
当时，由，得，因此；
当时，由，得，因此；
当时，由，得，因此，ABD可能，C不可能.
故选：ABD
10. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A. 对于回归方程，变量每增加1个单位，则平均减少个单位
B. 两个变量，的相关系数越小，，之间的线性相关程度越弱
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好
D. 用最小二乘法求得一组成对数据的回归方程，若增加一个新的样本点，则得到的新回归方程可能不变
【答案】ACD
【解析】对于A：对于回归方程，变量每增加1个单位，
则平均减少个单位，故A正确；
对于B：越接近于，则，之间的线性相关程度越强，
越接近于，则，之间的线性相关程度越弱，故B错误；
对于C：在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，
即模型的拟合精度越高，故C正确；
对于D：若增加的样本点恰好为原回归直线的样本中心点时，
则增加该样本点后，回归方程不会发生改变，故D正确.
故选：ACD
11. 若关于的不等式有实数解，则实数的值可以为（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】AB
【解析】关于的不等式有实数解，
等价于关于的不等式有实数解，
令，，
则问题转化为有实数解，
因为，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，所以当时，
要使不等式有实数解，则，即，
结合选项可知只有A、B符合题意.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记等差数列的前项和为，若，则______.
【答案】
【解析】因为，又，
所以，所以.
故答案为：
13. 某果农计划在A，B，C，D这4个地块上种植2种不同的果树，每个地块只种植一种果树，有苹果、梨、桃子、杏4种果树可供选择，则不同的种植方案数为______.（用数字作答）
【答案】84
【解析】先选两种果树有种方案，然后每块地有2种选择，
所以不同的种植方案有种植方案.
故答案为：84.
14. 已知数列an满足，且，，若，则数列bn的前n项和最小时，______.
【答案】5或7
【解析】由，可得，即，所以数列为等差数列，设公差为，所以，则，由，解得，所以，则，
当时，，当时，，
故当时，，，，，当时，，
所以数列bn的前n项和最小时，或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若图象上任意两点连线的斜率都大于a，求a的取值范围.
解：（1），则，
又，
所以切线方程为，即.
（2）设图象上任意两点的坐标为x1,fx1，x2,fx2，且，
则，整理得，
令，则单调递增，
恒成立，即，
所以的取值范围为.
16. 如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）依题意可得A0,0,0，B1,0,0，，，，，，
则，，
所以，
所以；
（2）因为，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为.
（1）求的方程；
（2）若，是上与不重合两动点，且，求证：直线过定点.
解：（1）由题可得，由，可得的横坐标为，
因为点在第一象限内，则，
所以，解得：，
所以抛物线方程为
（2）由(1)可得：，，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，，
所以，
联立方程，可得：，
所以，即，，，
因为，所以，
则，
化简得：，
则，
所以，
解得：，或，
当时，即，且，
所以，
所以直线过定点为，
当时，即，且，
所以，所以直线过定点为，即点，不满足题意，舍去；
综上：直线过定点为
18. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若,函数有两个极值点，，求的取值范围.
解：（1）函数的定义域为0,+∞，
又，
当时，f'x>0恒成立，所以在0,+∞上单调递增；
当时，则当时，f'x>0，当时，f'x