河南省周口市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省周口市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】因为，
所以中有4个元素．
故选：C．
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B.
3. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，由，得．
故选：C．
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以．
故选：D.
5. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】因为，
所以把的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．
故选：A.
6. 若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知且．
设，则在区间上单调递减，
由复合函数的单调性可得，即．
又因为当时，所以，解得．
综上得．
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
得，，
两式相加，得，即．
故选：B.
8. 已知函数，若方程有3个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，画出大致图象．方程有3个不同的实数根，
即函数的图象与直线有3个交点，
由图可知．易知：是方程的根，
即的根，所以．
当时，令，可得，所以时，．
所以．
所以的取值范围是．
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若A，B均为非空集合且，则“”是“”的必要不充分条件
B. 若a，，则“”是“”的充分不必要条件
C. 若x，，则“”是“”的充要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】对于A，由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”，
则“”是“”的必要不充分条件，A正确；
对于B，由，得，从而，但由只能得到，
不能得到，则“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C，等式成立的前提是，
则“”不是“”的充要条件，C错误；
对于D，若，则，必有，反之不成立，
则“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：ABD.
10. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，D，取，则，故A，D错误；
对于B，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
结合B选项的分析，可得，所以，故C正确．
故选：BC.
11. 若函数满足对任意，都有，且当时，则（ ）
A. 的值不可能是0 B.
C. 是奇函数D. 是增函数
【答案】AC
【解析】对于A，在中，令，得或，
若，则当时，，与已知矛盾，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，故B错误；
对于C，令，得，所以是奇函数，故C正确；
对于D，取，是符合已知条件的函数，但不是增函数，故D错误．
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则，的最大值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
故，当且仅当，
即时取等号，所以的最大值为．
13. 已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：）满足的关系式为，若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，则该食品在时的保鲜时间是__________ ．
【答案】64
【解析】由该食品在时的保鲜时间是，得，所以，
由在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，得，
所以，所以该食品在时的保鲜时间是．
故答案为：64.
14. 已知函数，在上的最大值为，则__________．
【答案】1
【解析】，
当时，，所以，
所以，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间．
解：（1）因为的最小正周期为，所以，
因为图象关于直线对称，
所以，即，
又，所以，
所以．
（2）因为的单调递增区间为，
所以令，得，
所以的单调递增区间为.
16. 已知函数．
（1）若的图象经过点，求不等式的解集；
（2）若存在x，使得，求a的取值范围．
解：（1）因为的图象经过点，
所以，即，又，所以．
因为的定义域为，且在上单调递增，
所以由，得，解得，
故原不等式的解集为．
（2），即，
化简可得，
所以方程在时有解．
易知在上的值域为，所以，
又，所以，即a的取值范围为．
17. 已知．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）因为，
所以．
（2）因为，所以．
因为，①
两边平方得，所以，
又因为，所以，
所以，②
①②联立，得，所以，
故．
18. 已知是偶函数．
（1）求的值；
（2）用单调性的定义证明在上单调递增；
（3）解关于不等式．
解：（1）因为是偶函数，其定义域为，
所以，即，所以（负值舍去）．
当时，，满足，是偶函数，所以．
（2）由（1）知．
，且，
有
，
由，得，
所以，即，
所以在上单调递增．
（3）由（1）知，故原不等式为，
可得．
若，得，原不等式的解集为，
若，原不等式等价于，
因为，所以原不等式的解集为，
若，原不等式等价于，
当时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为．
19. 给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”．
（1）若是上的“单位距函数”，求a的值．
（2）若函数在区间上的最小值为．
（i）求的表达式；
（ii）若为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值．
解：（1）因为，
当时，，当且仅当时取等号，
所以，此时；，此时．
因为为上的“单位距函数”，所以，
所以．
（2）（i）．
设，
当，即时，在上单调递增，
；
当，即时，；
当，即时，在上单调递减，
．
综上，
（ii）由（i）知，当时，，
，
因为为整数，所以为整数，
因为，所以，所以，即．
由题意知为区间上的“单位距函数”，
由（i）知在区间上单调递增，
所以
，
所以．