河南省驻马店市2024_2025学年高三数学上学期期末试题含解析

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，根据交集和补集的概念求出答案.
【详解】因为，，所以．
故选：B
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数的乘除法运算即可.
【详解】因为，所以．
故选：D.
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据奇函数判断排除B，C，在内选择特殊值得排除D.
【详解】函数是定义域为
函数，奇函数，所以排除B，C，
又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，
如0.1，得，所以排除D．
故选：A.
4. 在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解.
【详解】连接相交于点，相交于点，连接，
则为正四棱台的高，作，垂足为，
则，，
四边形是等腰梯形，，
所以，，
，
由，得，
可得．
故选：C.
5. 设函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用复合函数和对数函数的性质转化为二次函数单调性的问题，建立不等式组求解取值范围，再求最值即可.
【详解】令，，
则可视为由和构成的复合函数，
由对数函数性质得在区间上单调递增，
因为在区间上单调递减，
所以由复合函数性质得在区间上单调递减，
由二次函数性质得的对称轴为直线，
显然开口向上，故，解得，
则的最大值为4，故C正确.
故选：C
6. 现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（ ）
A. 6B. 15C. 20D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，则不连续值日的三组数可列举出来，进而甲、乙、丙全排列计算即可得出结果.
【详解】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，则不连续值日的三组数可列举为，，
，，，
所以符合条件的方法有种．
故选：D
7. 已知双曲线：（，）的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查双曲线的性质，利用垂直平分线的性质得出，联立两条直线方程求出点的坐标，利用勾股定理建立等式计算出即可求解．
【详解】不妨设渐近线垂直平分线段，
所以．
由解得所以点的坐标为．
由，
得，
所以双曲线的离心率，
故选：A．
8. 若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用诱导公式和辅助角公式化简，再结合给定定义并对进行分类讨论，得到参数取值范围即可.
【详解】由题意得，
，
因为，所以，
故在上有两个最大值点，
令，则函数在区间上至少存在两个最大值点，
则，解得．当，即时，显然符合题意．
当时，因为，所以，
因为，所以，，分以下两种情况讨论：
①当，即时，，即，所以；
②当，即时，，即，所以．
综上，的取值范围为，故B正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是先化简函数，然后结合给定定义并对参数分类讨论，得到所要求的参数范围即可．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A. 该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为0.55
B. 样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少
C. 规定年收入在400万元以内（不含400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策
D. 估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数
【答案】BD
【解析】
【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，
则年收入落在区间内的小型民营企业的频率为，
故A错误；
对于B，样本中年收入低于500万元的小型民营企业的频率为
，故B正确；
对于C，因为年收入在400万元以内的小型民营企业的频率为0.3，
所以该工业园区有30%的小型民营企业能享受到减免税政策，C错误．
对于D，因为，所以中位数应该在内，设为，
则，解得，所以中位数约为480，
平均数约，
中位数等于平均数，D正确．
故选：BD.
10. 已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（ ）
A. 实数的值为1或
B. 上单调递增
C. 若是的一个极小值点，则当时，
D. 若是的一个极大值点，则当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由是的一个极值点，得，求出实数的值并分析其单调性，并根据单调性判断即可；
【详解】函数的定义域为，．
令，得，，
① 当时，，
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时是的一个极大值点．
② 当时，解得，则，
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时是的一个极小值点．
故A正确，B错误；
若是的一个极小值点，则，在上单调递增，
因为，则，所以，故C正确；
若是的一个极大值点，则，在上单调递增，
因为，所以，，且等价于，
即当时，，所以，故D正确．
故选：ACD.
11. 如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，，它们的中心分别为，，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的各棱长都为2，则下列命题正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角为
B. 平面
C. 该多面体外接球的表面积为
D. 直线与下底面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据几何特征应用线面垂直判定定理判断B，求出外接球的表面积判断C，计算异面直线所成角，线面角判断A，D.
【详解】对于A，设，在下底面的射影分别为，，则平分，为等边三角形，
所以异面直线与所成的角为，故A错误．
对于B，易知垂直于底面，所以，
又平分，所以，
因为平面，所以平面，从而平面，故B正确．
对于C，设的中点为，在下底面上的射影为，
上、下两底面间的距离为，外接球的半径为，则，，
所以，，
从而所求外接球的表面积为，故C正确．
对于D，设直线与下底面所成的角为，由上面可知，所以，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量满足，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律化简即可得解.
【详解】因为，
所以，化简得．
又因为，
所以．
故答案为：2
13. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，与准线交于点，，则直线的斜率为______，______．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】利用平面向量的坐标运算求出，利用点在抛物线上求解坐标，进而求出点的不同坐标，分类讨论结合两点间距离公式求解即可.
【详解】设直线的方程为，由题意得的准线为，
令，解得，则点的坐标为，，
设，故，，
因为，所以，，
解得，故，
因为点在抛物线上，所以，解得．
故或，
当时，由两点间距离公式得，
当时，由两点间距离公式得，
综上可得，.
故答案为：；4
14. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换可得，进而求出角的大小得解.
【详解】在中，由正弦定理及，
得，
则，
移项得，
于是，整理得，解得，
由，得，则，，
所以.
故答案为：3
【点睛】关键点点睛：利用正弦定理化边为角，再逆用和差角的正弦公式变形是求解问题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间，利用函数的极值与导数的关系，结合题意可求得实数的值.
【小问1详解】
因为，所以，，
所以，又，
所以所求切线的方程为，即．
【小问2详解】
的定义域为，
，
当时，或．
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值．
由，解得．
16. 一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
（1）能否有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？
（2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率．
（3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：
当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有90%的把握判断变量，有关联；
当时，有95%的把握判断变量，有关联；
当时，有99%的把握判断变量，有关联．
【答案】（1）有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算进行独立性检验的判断即可；
（2）应用超几何分布概率公式计算求解；
（3）写出超几何分布的分布列进而求出数学期望.
【小问1详解】
因为，
所以有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异．
【小问2详解】
由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7:3，
所以抽取男性7人，女性3人，
再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件，则，
恰有2名男性居民记为事件，则，
所以在有女性居民参加座谈的条件下，
恰有2名男性居民也参加座谈的概率为．
【小问3详解】
在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出
12人，可得抽取结果如下表：
再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，
可取0，1，2，3，9分
可求出，，
，，
的分布列如下：
数学期望．
17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，点在线段上．
（1）证明：平面．
（2）若平面，，，，平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）合理作出辅助线，利用平行四边形性质结合中位线定理得到线线平行，再利用线面平行的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法结合给定面面角的余弦值建立方程，求解参数，得到比值即可.
【小问1详解】
法一：如图，连接，设，连接．
因为四边形是平行四边形，所以为的中点，
因为为的中点，所以由中位线定理得，
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为，，，
所以，则．
又平面，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
由，，，
可知，，，．
设（），
则，．
设是平面的法向量，
由得
取，可得．
取平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，所以．
18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点，，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，以线段为直径作圆，点始终在圆内（包括圆周），求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】方法一：（1）利用余弦定理得出，再由的面积求出、可得答案；
（2）设点，，当直线的斜率不存在时，的方程为可得答案；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据点在圆内（包括圆周）得，韦达定理代入，再利用恒成立可得答案；
方法二：（1）利用是正三角形，、的面积求出、可得答案；
（2）当直线的斜率为0时，根据圆以椭圆的长轴为直径可得答案；当直线的斜率不存在，或斜率不为0时，设的方程为，与椭圆方程联立，根据点在圆内（包括圆周）得，韦达定理代入，再利用恒成立可得答案；
【小问1详解】
方法一：因为，所以，
则，
解得．
因为的面积为，所以，，，
所以椭圆的标准方程为；
方法二：因为，，
所以是正三角形，，
所以点在线段的中垂线上，则，是椭圆的短轴端点．
因为的面积为，所以，
在中，易知，
故椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
方法一：设点，．
当直线的斜率不存在时，的方程为，代入椭圆方程得，
不妨设，，易求．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则
消去得，，
所以，．
因为点在圆内（包括圆周），所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即恒成立，
所以，解得．
综上，的取值范围为．
方法二：
当直线的斜率为0时，圆以椭圆的长轴为直径，所以．
当直线的斜率不存在，或斜率不为0时，设的方程为，
且，．
联立，消去得，
所以，．
因为点在圆内（包括圆周），所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即恒成立，
所以，解得．
综上，的取值范围为．
19. 若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”．
（1）设，，证明：数列是数列的“分割数列”．
（2）设，是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由．
（3）设是首项为，公比为的递增等比数列，是的前项和，若数列是的“分割数列”，求实数与的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）不是的“分割数列”，理由见解析
（3），．
【解析】
分析】（1）由新定义，可得，求得，即可得证；
（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；
（3）讨论，或，，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．
【小问1详解】
证明：因为是递增数列，满足对任意的，
存在，使得，所以．
又，，所以，
解得，取，满足“分割数列”的定义，
所以是的“分割数列”．
【小问2详解】
因为，所以，．
假设是的“分割数列”，则，
即，整理得．
当时，，
所以，则，易知在上单调递增，
因为，，…，所以满足条件不存在，
故不是的“分割数列”．
【小问3详解】
因为单调递增，所以或
①当，时，对任意的，有，
因此有，
故不存在，使得，不符合题意．
②当时，因为是的“分割数列”，
所以，即，
化简得，
即，
两边取对数得
．
记，
则．
下面分析，的取值范围．
当时，为减函数，因此，
即．
（ⅰ）当时，，因此总有，
所以，
因此总存在满足条件，符合题意．
（ⅱ）当时，，根据函数零点存在定理，
并结合的单调性可知，存在唯一正整数，使得，
此时有则，
即，显然不存在满足条件的正整数．
综上，可知，．
【点睛】思路点睛：
关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.
倾向于购买燃油车
倾向于购买新能源车
合计
女性居民
150
250
400
男性居民
350
250
600
合计
500
500
1000
倾向于购买燃油车
倾向于购买新能源车
男性居民
7
5
0
1
2
3