福建省福州市福九联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省福州市福九联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是：.
故选：B
2. 已知集合，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】集合，所以，
对于A，，是元素与集合之间的关系，符号错误，故A错误；
对于B，，集合的包含关系，符号错误，故B错误；
对于C，，集合的包含关系，故C正确；
对于D，是一个集合，所以，符号错误，故D错误；
故选：C.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A选项，因为，不妨取，，则，A错；
对于B选项，取，则，B错；
对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错；
对于D选项，因为，则，，
所以，，即，D对.
故选：D.
4. “函数在上为减函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若函数在上为减函数，则，解得，
又因为，
因此，“函数在上为减函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为中，所以，所以的定义域为，排除C；
当时，，排除A；
当时，，排除D；
故选：B.
6. 幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 或
C. 是奇函数D. 是偶函数
【答案】C
【解析】因为是幂函数，
所以，解得或，
因为，都有成立，
所以该函数在是减函数，所以，
即，定义域为，
则，
所以是奇函数，
故A、B错误，选项C正确，选项D错误，
故选：C.
7. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】关于的不等式的解集为，
所以，得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
此时，即的取值范围为，
故选：A.
8. 设函数，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为的定义域为，
所以，
所以为偶函数，所以
当时，，因为在0,+∞上单调递增，
所以0,+∞上单调递增，
因为，所以，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数与是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A：，定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数，该选项不满足题意；
对于B：，定义域为，定义域和对应关系均相同，为同一函数，该选项满足题意；
对于C：，定义域为，定义域和对应关系均相同，为同一函数，该选项满足题意；
对于D：，定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数，该选项不满足题意；
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，，且，则的最小值为
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 函数的单调递减区间为
D. 关于的不等式的解集中至多包含一个整数，则实数的取值范围是
【答案】AB
【解析】对于A，由于，，，当且仅当，即取等号，故A正确，
对于B,由得或，故“”可得“”，但是“”不一定“”，故“”是“”的充分不必要条件，B正确，
对于C,由于函数在上单调递增，而的单调区间为，
故的单调递减区间为，C错误，
对于D，不等式可变形为，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
因为关于的不等式的解集中至多包含1个整数，
所以或，
故实数的取值范围为,．D错误，故选：AB
11. 表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. ，，
C. 函数，的图象不关于原点对称
D. 设方程的解集为A，集合，若，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为，则，，
可得，所以，故A正确；
对于选项B：例如，则，故B错误；
对于选项C：因为，
所以函数，的图象不关于原点对称，故C正确；
对于选项D：因为，则，
解得或，所以，
又因为，且，
若，则，可得，解得；
若，则，符合题意；
若，则，可得，解得；
综上所述：，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】若命题“，”是真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 计算___________.
【答案】
【解析】原式.
故答案为：.
14. 已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为_____________.
【答案】14
【解析】不妨设，
①当时，由，不满足题意；
②当时，由性质定义知：
，且，
所以m的最小值为，经检验符合题意.
故答案为：14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
又，
或，
，；
（2），，
当时，即符合题意，
当时，则 ，
综上所述：.
16. 已知定义域为的函数是奇函数，且.
（1）求实数，的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式.
解：（1）法1：函数是定义域为R的奇函数，
，即，
又，即，
由①②解得，，
经检验，，符合题意.
法2：函数是定义域为R的奇函数，
，即，
，即，
，
又，即，
由①②解得，.
（2）函数在R上为减函数.
证明如下：
由（1）得函数，任取且，
则，
，，又，
，即，
函数在R上为减函数.
（3）函数为奇函数，
可化为，
又函数在上为减函数，
，解得：，
原不等式的解集为.
17. 为了发展全域旅游，闽运永泰分公司新购进25辆新能源公交车全部投放于两条乡村公交线路，每条公交线路至少要投放5辆公交车，经过前期试运营可知：线路A的月收入P（单位：万元）和线路B的月收入Q（单位：万元）与投入公交数量（单位：辆）之间分别满足：，.设线路A投放辆公交车，每个月两条公交线路总收入为（单位：万元）.
（注：收入为负数表示亏损，收入为正数表示盈利）
（1）求的值；
（2）由于线路A长期处于亏损状态，县政府决定对于投放线路A的每辆公交车每个月提供万元补贴，试问：至少为何值时，才能确保线路A的月总收入不低于线路B的月总收入？
解：（1）依题意得： （，且），
（，且）
（，且）.
所以.
（2）依题意得：对恒成立，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
令（，且），则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
答：至少为时，才能确保线路A月总收入不低于线路B月总收入.
18. 已知是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在的值域；
（3）我们知道：函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现：可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，使得，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
，
又是奇函数，
，
.
（2）当时，，
令，则，
，，
二次函数开口向上，对称轴为，
当时，，
函数在的值域为.
（3）函数的图象关于直线对称，
由题意可得：函数为偶函数，
，，
当时，，
，
令，其中，
函数在的值域记为，函数在的值域记为，
由（2）知，
，，使得，
即，只需，
二次函数开口向上，且对称轴为，
①当时，在单调递增，
，
，解得：，
②当时，在单调递减，
，
，解得：，
③当时，在单调递减，在单调递增，
，
，解得：，
综上：的取值范围为：.
19. 已知函数，，满足且为增函数.
（1）求函数，解析式；
（2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
解：（1）因为为增函数，所以，
由，整理得，
解得或（舍去），
所以，.
（2）由是增函数，所以当时，，
存在不等式成立，
即成立，
成立，
令，
所以存在，不等式成立，即成立，
设，则，，
，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以实数的取值范围是.
（3），
则hx为偶函数，令，
当时，关于的方程只有一个实数解，
当时，关于的方程有两个不同的实数解，
当时，关于的方程没有实数解，
所以要使关于的方程有四个不同的实数解，
需关于的方程有两个不同的正实数根，
则，解得或，
所以的取值范围是.