福建省福州市福九联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份福建省福州市福九联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知两直线与直线平行，则（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】，
直线的斜率，
直线，
易知时与不平行，
即，
故直线斜率，
两直线与直线平行，
，
即，
解得：.
故选：A.
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】点关于轴对称的点的坐标为．
故选：A．
3. 过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当最短时，直线，所以，
又，所以，
所以直线的方程为，即..
故选：A.
4. 已知椭圆的焦距为6，则的值是（ ）
A. 5B. 32C. 5或77D. 32或50
【答案】D
【解析】根据椭圆方程可知当焦点在轴上时，可得，解得；
当焦点在轴上时，可得，解得；
综上可知，的值是32或50.
故选：D
5. 若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线对称点；
设对称点坐标为，可得，解得，
即直线一定过定点.故选：C
6. 已知实数，满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】表示圆心为，半径为2的圆，
表示过点和点直线的斜率，
如图所示：直角中，，，,
故，同理可得. 所以.
故选：B.
7. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，为的中点，
则，
由圆锥的几何性质可知平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，点到平面的距离为.
故选：B.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又，所以，
整理得，所以，所以，
解得或（舍去），
所以椭圆的离心率为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 点斜式可以表示任何直线
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线关于点对称的直线方程是
D. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】BC
【解析】对于A选项，点斜式不表示倾斜角为的直线，A错；
对于B选项，在直线的方程中，令，可得，
所以，直线在轴上的截距为，B对；
对于C选项，直线关于点对称的直线方程为，其中，
则，可得，因，解得，
所以，直线关于点对称的直线方程是，C对；
对于D选项，若所过直线过原点，该直线的斜率为，此时，所求直线方程为，
若所求直线不过原点，设所求直线方程为，则，解得，
此时，所求直线方程为，
综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是或，D错.
故选：BC.
10. 已知圆和圆，则（ ）
A. 若两圆相交，则
B. 直线可能是两圆的公切线
C. 两圆公共弦长最大值为
D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是
【答案】ABC
【解析】圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，
对于A选项，因为，
若两圆相交，则，
即，
因为，解得，A对；
对于B选项，原点到直线的距离为，
则直线与圆相切，
若直线与圆相切，则，
即当时，直线是两圆的公切线，B对；
对于C选项，将两圆方程作差可得，
当直线过原点时，
即时，即当时，
两圆的相交弦的弦长取最大值，且此时两圆的相交弦为圆的一条直径，C对；
对于D选项，若两圆的相交弦方程为，
则有，因为，解得，不合乎题意，D错.
故选：ABC.
11. 已知正方体棱长为，为平面内一点，为中点.下列论述正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则到直线的距离为
C. 若，则有且仅有一个点，使得平面
D. 若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为
【答案】ABD
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、，
对于A选项，，
则，
，所以，，故，A对；
对于B选项，若，则为线段的中点，即点，
，，
所以，点到直线的距离为，B对；
对于C选项，，其中，
则，，
因为平面，则，即，
，解得，
因此，不存在点，使得平面，C错；
对于D选项，若，其中，
，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，
取，可得，且，
易知平面的一个法向量为，
设平面与底面所成角为，
所以，，
则，D对.
故选：ABD.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，分别是平面、的法向量，若，则___________.
【答案】
【解析】因为向量，分别是平面、的法向量，且，则，
则，解得，，故.
故答案为：.
13. 平面内点满足，其中、，且，则的面积为__________.
【答案】
【解析】设，，，则，
由余弦定理可得
，
所以，可得，所以，，
因为，则，故.
故答案为：.
14. 在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是__________，、两点的“城市街区距离”最小值是__________.
【答案】① ②
【解析】圆的圆心为原点，半径为，
所以，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径，
故、两点的直线距离最小值为，
不妨设点、，则，
则、两点的“城市街区距离”为
，
令，
则关于的函数在连续，则该函数在上递减，
在上单调递增，
所以，，
为锐角，且，
所以，当时，、两点的“城市街区距离”取最小值.
故答案为：；.
四.解答题（共5题，共77分）
15. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是.
（1）求点的坐标；
（2）判断的形状.
解：（1）设，
因为边的高线所在直线方程是，所以，
又，所以①，
又点在直线上，所以②，
由①②解得，所以点的坐标为；
（2）设，因为点在上，
所以，
因为边上的中线所在直线方程是，
所以，解得，所以，
所以，，
所以，所以，
又，，
所以是直角三角形.
16. 在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，，
（1）用，，表示；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
解：（1）易知
；
（2）根据题意可知，
且;
所以可得
；
又易知
；
所以，
因此异面直线与所成角的余弦值为.
17. 如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.

（1）求圆的方程；
（2）若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
解：（1）根据题意可知，
易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心，
又可得，
解得，所以半径，
因此圆的方程为.
（2）由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得；
由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为，
因此行驶直线方程为，
圆心到直线的距离为，
即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险.
18. 如图，四边形与均为菱形，，，.

（1）求证：平面；
（2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
（3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
解：（1）因为四边形为菱形，则，
设，连接，则为的中点，
因为，则，
因为，、平面，
故平面.
（2）连接，因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，四边形为菱形，且，
则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
同理可得，
所以，A3,0,0、、、、、，
则，，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则，取，可得，
因为为上的动点，设，其中，
且，，
所以，，
设直线与平面所成角，
则
，
当时，取最大值，且最大值为，
因此，与平面所成角正弦值的最大值为.
（3）因为为的中点，则，
设点，则，，
因为，即，即，
化简可得，
故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分，
即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为.
19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，，
①若，求证：直线和直线的斜率之和为定值；
②若，求四边形周长的取值范围.
解：（1）由题意知：当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值，
即，
再根据离心率为，
可得：，
由，
解得：，
故椭圆的标准方程为：．
（2）①如图所示：
当直线斜率不存在时，不满足，
故直线斜率存在，
设直线AB的方程为，
联立，
得，
，
，
，
，
整理得：，
即，
由题意知：与，与关于原点对称，
即，
即，
故，
所以直线和直线的斜率之和为定值．
②对角线、过原点，且，
即，
四边形为菱形，
故四边形的周长为：，
当直线斜率不存在时，
，
，
由，
得：，
即，
又，
解得：，
当直线斜率存在时，由①再结合，得，
得，
即，
故，
令，
则，
，
，当时，，当时，，
综上所述：，
四边形周长的取值范围为：．