福建省福州十校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省福州十校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，，，只有B正确．
故选：B．
2. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】易知命题的否定为.
故选：B
3. 已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，所以，
又，所以，
故选：C
4. 已知定义在上的函数表示为：
设，的值域为M，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为满足，所以，
由表中数据可知：的取值仅有三个值：，所以的值域为.
故选：B.
5. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，所以函数的定义域为，
令，则，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：C.
6. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ）
A. 1或2B. 2或3C. 3或4D. 1或3
【答案】A
【解析】由“甲：此数为小于5的正整数”可得表示的数字可能为1,2,3,4，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
又是的充分不必要条件，所以是的真子集，
又，
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
所以“”表示的数字是1或2，
故选：A.
7. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是定义在上的偶函数，
所以，得到，
显然，由图象关于轴对称，得到，解得，
所以，满足要求，得到.
故选：A.
8. 已知则下列选项错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值．
对于选项A，因为，分别取中的一个最小值与一个最大值，
所以，故A正确．
对于选项B，当，则，，
所以；
当时，，，
所以．
综上所述，，故B正确．
对于选项C，取，则，
而，此时，故C错误．
对于选项D，当，即时，，
因为，所以，，所以；
当，即时，，
因为，所以，，所以．
综上所述，，故D正确．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 不同真子集个数为8
【答案】BC
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
又，说明，
综上，画出维恩图如下：
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，的不同真子集个数为7，故D错误，
故选：BC.
10.下列说法不正确的是（ ）
A. 已知，若，则组成集合为
B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C. 的定义域为，则的定义域为
D. 不等式解集为，则
【答案】ACD
【解析】A选项，，又，
当时，，满足，当时，，
当时，，满足，当时，，满足，
综上，组成集合为，A说法不正确；
B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立，当时，由对一切实数恒成立，
可得，解得，
综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，
所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，
故B正确；
C选项，因为的定义域为，所以，解得，
故的定义域为，C说法不正确；
D选项，不等式解集为，
则且为方程的两个根，故，
则，故，D说法不正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为不恒为0，且，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于原点对称D. 在定义域内单调
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，令，则，故A正确；
对于BCD，当且时，，得恒成立，
令函数，则，所以，所以为常函数，且，令，则，易得是奇函数，故C正确；
，故B错误；
因为函数，所以在定义域内单调递增或单调递减，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则________．
【答案】
【解析】依题意，
所以.
故答案为：
13. 已知定义在上的函数（为常数），若，则_______.
【答案】
【解析】设，则，
即，且定义域为R，∴是奇函数，
所以，，两式相加得，
所以，.
故答案为：.
14. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由已知可得，
所以 ，
当且仅当即时取等号，
所以不等式有解即不等式有解，
即，解得或，
所以的取值范围，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15 已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若_______，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，又，
∴，
又，∴；
（2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
若，则，解得；
若，则且等号不能同时成立，解得，
综上，或，即的取值范围为
选②，因为，所以，下同选①.
选③，因为，所以，下同选①.
16. 已知幂函数为偶函数.
（1）求幂函数的解析式；
（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）∵幂函数为偶函数
∴，即，解得或，
当时，为偶函数，符合条件；
当时，为奇函数，不符合条件；
∴函数的解析式是.
（2）由（1）知，，则
由，得，即，
令，依题意，对任意，恒成立，∴
∵函数在上单调递减，∴，故，
∴实数的取值范围是.
17 已知二次函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式.
解：（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，即
（2）由，可得不等式，
即
当，即时，不等式，解得，
不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或
18. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.
解：（1）∵，
∴.
（2）当时，，
由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，
当时，，
由不等式性质可知，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
因为1150>1130，所以，当时，，
即当年产量为20万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1150万元
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）求使成立的实数a的取值范围.
解：（1）由题意可知，故，
又由可得，解得；
所以，
此时定义域关于原点对称，且，
故是定义在上的奇函数，满足题意，
所以.
（2）在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
因此在上单调递增.
（3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.
20. 若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）．
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值．
参考公式：，的中点坐标为．
解：（1）当，时，,由,解得或,所以所求的不动点为-1或3.
（2）令则①,
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以,
即恒成立，则，故
（3）设,,又AB的中点在该直线上，所以,
而应是方程①的两个根，所以
即,
,
,x
0
y
1
0
2