江苏省常州市溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 下列导数运算中错误的是， 已知，则， 已知，则点到直线的距离为， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；
2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. 10B. 8C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
则.
故选：D
2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】函数在区间上的平均变化率等于，
由，得，所以，
因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，
所以，解得.
故选：B
3. 下列导数运算中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项,
对于A， ，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：C
4. 若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）．
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】由题知，，故，解得.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，所以，
则，
故选：A
6. 抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 事件，，两两互斥B.
C. D. 事件，相互独立
【答案】C
【解析】抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，
对于A，事件，，中任何两个事件都不能同时发生，所以事件，，，两两互斥，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，，，
，所以事件，相互独立，故D正确；
故选：C
7. 已知，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以在上投影的长度为，
所以点到直线的距离为.
故选：C
8. 设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将变形为：，
令，则在上至少有2个不等实数使得，
所以在上不单调，即可满足“性质”；
对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”；
对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”；
对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”；
对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”；
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线平面
B 若，则平面平面
C. 若，则平面所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角的大小为
【答案】BCD
【解析】由，则直线平面或，故错误；
由，则平面平面，故正确；
若，设平面和平面所成角为，且，
则，
所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；
设直线与平面所成角为，
则，且，
所以直线与平面所成角的大小为，故正确.
故选：.
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 过点可作曲线的一条切线
【答案】ACD
【解析】因为函数，所以，
令，解得：，
当或时，，则的单调增区间为，，
当时，，则的单调减区间为，
故当为函数的极大值点，极大值为，当为函数的极小值点，极小值为，故A正确；
当时，，当时，，则的图象如下：

所以有2个零点，故B错误；
对任意，，所以点是曲线的对称中心，故C正确；
因为，，则，所以切线方程为：，即，所以过点可作曲线的一条切线；
故选：ACD
11. 已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的最大值为
B. 若，则三棱锥的体积为1
C. 若，则与平面所成角的最大值为
D. 若，当最小时，则
【答案】BD
【解析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，，，
对于A，当时，，可得，
所以，
可知当时，的最大值为3，故A错误；
对于B，当时，点的坐标为，
可知点在正方形内部运动(含边界)，
则点到平面的距离等于正方体的棱长，即，
结合
可得三棱锥的体积，故B正确；
对于C，，平面的一个法向量为，
设与平面所成夹角为，则
若，取，，此时，
结合正弦函数在锐角范围内是增函数，可得直线与平面所成角大于，故C错误；
对于，当，则，结合，
可得，
因为，所以当点在线段上时，即，共线反向时，达到最小值，由，得，，，解得：，，，
即达到最小值时，的坐标为，此时，可得，故D正确；故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（第13题第一空2分，第二空3分）
12. 若函数的图象在点处的切线平行于轴，则____.
【答案】
【解析】由，可得，
由题意得：，解得：，故答案为：
13. 已知随机事件，则______.______.
【答案】；
【解析】由概率的乘法公式得，
因为，，则，
所以由条件概率公式得，故答案为：；
14. 等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为______.
【答案】
【解析】取中点，中点，则平面，,
所以，，，
，，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，
得，
平面的法向量为，设二面角的平面角为，
所以，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点.
（1）证明：共面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
解：（1）由题意得：，
则由共面向量定理知，共面.
（2）方法一：由平面，知为平面的法向量，
又平面，
所以
由（1）知：，
，
设直线与平面所成角为，
所以，直线与平面所成角大小为.
方法二：由题平面及为正方形，
以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系;
则，则，
由平面知为平面的法向量
设直线与平面所成角为，
则
所以，直线与平面所成角大小为.
16. 扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为.
（1）试把表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）多大时，圆锥的体积最大？
解：（1）设圆锥侧面扇形弧长为，高为，底面圆的半径为，
则，则，
所以
由得，则的取值范围为1,+∞；
（2）由（1），
令，则，令，
则，令，解得
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以，当时，取最大值，即时，最大.
即当时，圆锥的体积最大.
17. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.
（1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
（2）求第一次取出的是白球的概率；
（3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
解：（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件.
.
所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为.
（2）
所以第一次取到白球的概率为.
（3）
所以.
所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为.
18. 图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为.
（1）判断直线与直线是否垂直，并说明理由；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）连接，交于点，由为正方形知，
连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面，
以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系.
则.
，
.
所以不垂直于，所以直线与直线不垂直.
（2），
设平面的一个法向量为，
则，
取，得.
平面的一个法向量为.
设二面角平面角为，
则.
由图知，所以二面角的大小为.
（3），由（2）平面的一个法向量为，
所以，点到平面的距离.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点.
①求的取值范围；
②若函数有两个极值点，求的取值范围.
解：（1），
（ⅰ）当时，在上单调递减.
（ⅱ）当时，时，,时，.
综上，时，在上单调递减，
时，上单调递减，在上单调递增.
（2）①由（1）当时，在上单调递减，不符合题意
当时，在上单调递减，在单调递增.
则.
令，
由知，在上单调递增.
又，
当时，，不满足有两个零点.
当时，，
又，则在有一个零点.
又，令，
可得，所以，
则，则在有一个零点.
综上，在上有两个零点，的取值范围是
②，
.
令，
则.
由①知，则在上单调递减，在上单调递增.
所以，.
由题有两个极值点，则在上有两个零点，
又，当时，.
则，又.
所以，的取值范围是.