专题08 全等三角形模型之一线三等角与手拉手-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21061" PAGEREF _Tc21061 \h 1
\l "_Tc21355" 模型1.全等三角形模型之一线三等角模型 PAGEREF _Tc21355 \h 1
\l "_Tc27080" 模型2.全等三角形模型之手拉手模型 PAGEREF _Tc27080 \h 11
\l "_Tc29875" PAGEREF _Tc29875 \h 20
模型1.全等三角形模型之一线三等角模型
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，
∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE，
∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，
∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”）
例2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
（1）如图（1），为等边三角形，，，则________
【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________
【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长．
例3．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，，求的度数；
(2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）；
(3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值．
模型2.全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型

条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型

条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型
条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
例1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中，和均为等腰直角三角形，，，，点在同一直线上，连接，为中边上的高．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)直接写出和之间的数量关系．
例2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，以为直角边，在左侧构造等腰，其中，，连接．
(1)如图1，若点在上，求证：；
小明提供了如图2的思路：他利用的条件，在点作的垂线交的延长线于点，从而利用共点的两个等腰直角三角形“手拉手”模型，通过全等，转角得到结论．
请你按照小明的思路完成第（1）问；
(2)如图3，若点在的下方，求证：；
(3)如图4，若，，三点在一条直线上，求的长．
例3．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：

(1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ；
(2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数．
1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线、的交点，若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时， ；④在旋转过程中，的最大面积为．其中正确结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，等腰直角，，，点D为外一点，，连接CD，，，BC的长为 ．
4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ．
5．（23-24八年级下·云南红河·期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题．
今天，我们就来认识它：（1）如图①，中，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，那么我们可以得到结论．请你用所学习过的数学知识证明该结论，
【方法迁移】（2）如图②，中，，，点在同一条直线上，，，．求菱形的面积．
【问题拓展】（3）如图③，分别以的直角边向外作正方形和正方形，连接是的高，延长交于点，若，，求的长度．
6．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示．
(1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由．
(2)当且时，求的面积．
7．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、．
(1)在图1中求证：；
(2)如图2，当时，连接，求的面积；
(3)在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围．
8．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ．
(1)填空： ， ；
(2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度；
(3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想．
9．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．

根据对材料的理解解决以下问题：
(1)如图，，．
①求证：；
②猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长．
10．（23-24八年级上·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：．
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明．
【模型应用】
（2）如图3，正方形中，，，求的面积．
（3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．

11．（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

[模型应用]
如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________．
[深入探究]
如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．
12．（24-25九年级上·山西晋中·期中）综合与实践
【问题情境】：
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动．
如图1，正方形和正方形，连接，．
【操作发现】：
当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______；
【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由；
【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长．