山西省运城市盐湖区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省运城市盐湖区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，
∴；
故选：A．
2. 2025年世界读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆的标志是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
3. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法而非因式分解，故错误．
B. ，右边为乘积与常数相加的形式，未完全转化为积的形式，故错误．
C. ，左边是单项式与多项式的乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，故错误．
D. ，左边是二次多项式，右边分解为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义，故正确．
故选：D.
4. 把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的4倍D. 扩大为原来的2倍
【答案】A
【解析】，即分式的值不变．
故选：A．
5. 在中，已知，，，则的面积是（ ）.
A. 6B. C. 12D.
【答案】D
【解析】如图，过点C作于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：D．
6. 分式方程的根是（ ）
A. B. 无解C. D.
【答案】B
【解析】两边同时乘以得，
解得：，
经检验：是原方程的增根，
∴原方程无解，
故选：B．
7. 如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，，则的周长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
8. 不等式的最大整数解是（ ）
A. 8B. 4C. 3D.
【答案】B
【解析】，
去分母：两边同乘6，得：，
展开并整理：，
合并同类项：，
两边减2：，
确定最大整数解：满足的最大整数是4，
故选：B.
9. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】A、，，
根据一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，
故该选项不符合题意；
B、，，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，
故该选项符合题意；
C、，，不能判定四边形是平行四边形，
故该选项不符合题意；
D、，，不能判定四边形是平行四边形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
10. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】，，，
，
是直角三角形，且，
，故①正确；
，，都是等边三角形，
，，，，
，，
即，，
在与中，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故③正确；
，故②正确；
过作于，则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故④错误；
正确的有个，
故选：C．
二、填空题
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】∵一次函数与图象相交于点，
根据图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方，
∴不关于x的不等式的解集是：，
故答案为：．
13. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________．
【答案】
【解析】∵是正六边形，
∴正六边形的各内角相等，
∴．
∵正六边形的内角和为：，
∴．
在四边形中，，
∴
．
∵，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，平分，是的中点，连接，则的周长为__________．
【答案】
【解析】∵，平分，
∴，，
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____．
【答案】3
【解析】连接，
由平移的性质得到，，
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
三、解答题
16 （1）因式分解：；
（2）解不等式组：.
解：（1）
=
=
=
=；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17. 下面是小红化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务.
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
（1）化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是____，第二步变形的依据是______．
（2）上述解答过程中第______步开始出现错误．错误的原因是______．
（3）请写出正确的化简过程．
解：（1）观察解答过程可得，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是完全平方公式，第二步变形的依据是分式的基本性质；
故答案为：完全平方公式，分式的基本性质；
（2）观察解答过程知，解答过程中第三步开始出现错误．
错误的原因是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：三，括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
（3）
．
18. 已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
解：，，理由如下：
方法一：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
方法二：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
方法三：如图，连接与交于点O，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
19. 在平面直角坐标系中，如图所示，.
（1）请画出向右平移5个单位后得到的．
（2）经过一次旋转得到，
①请直接写出旋转中心点P的坐标_______．
②经过怎样的旋转可以得到？
解：（1）如图，即为所求，
（2）①旋转中心点P的坐标为，
故答案为：.
②由题意可得，绕点逆时针旋转可以得到.
20. 年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到月日全球票房超亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩．
（1）从小明家到主题公园的路程为千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为，已知高速公路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过小时后到达目的地．求汽车在高速路段行驶的平均速度是多少？
（2）小明计划用不超过元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价元，敖丙手办单价元.他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多个.请问小明最多能买几个哪吒手办？
解：（1）设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合实际，
（千米时）
答：汽车在高速公路路段行驶的平均速度为千米时；
（2）设小明购买了个哪吒手办，
根据题意，得，
解得：，
∵为正整数且取最大值，∴，
答：小明最多能买个哪吒手办．
21. 阅读与思考
下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
（1）任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______．
（2）任务二：请完成善思小组的证明过程．
（3）任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解：（1）任务一：证明过程中的“依据”：三角形的中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），
故答案为：三角形的中位线定理；
（2）任务二：由作图可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即；
（3）任务三：
如图4，直线m即为所求作的直线．（方法不唯一）．
22. 综合与实践
【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和．
【数学建模】采购员以点O为原点，以所在直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式．
（2）①当米时，求点E的坐标．
②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：）.
解：（1）画出直角坐标系如图，
∵，
∴，
设直线的表达式为，把代入得到，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设直线的表达式为，把代入得到，
，
解得，
∴直线的表达式为，
（2）①设点D的坐标为，
∵轴，，
∴,
∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
②∴由①知，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴所需购买篱笆的总长为．
23. 综合与探究
【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究．
【探索发现】
（1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明．
【猜想证明】
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
【深入探究】
（3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
由旋转得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图3，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，C，B三点共线，
过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴C，B，三点共线，
∴过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长度为或．利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线
今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题：
如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点．
同学们以小组为单位展开了讨论．
勤学小组的作法如图2：
①在直线上任取一点，连接并延长至点，使，
②在直线上再取一点，连接，
③作的垂直平分线，交于点，
④作直线．则直线即为所求．
勤学小组的证明：
，点是的中点，
是的垂直平分线，点是的中点，
∴是的中位线，
∴（依据 ），即，
善思小组的作法如图3：
①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求．
善思小组的证明：……