山东省枣庄市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省枣庄市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分， 已知向量满足，且，则， 在正方形中，与交于点，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟试卷 满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 有4个式子：①；②；③；④；
其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知为锐角，若则（ ）
A. B. C. D.
3. 在平行四边形中，，记，则（ ）
A B.
C. D.
4. 值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 在正方形中，与交于点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（ ）．
A. B. 5C. D. -1
8. 在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（ ）
A. 0B. 4C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A.
B. 是直角三角形
C. 在方向上投影向量的坐标为
D. 与垂直的单位向量的坐标为或
10. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，的夹角为钝角，则且
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 直线是的图象的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 函数在上单调递减
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则_______.
13. 若，则__________．
14. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 对于任意两个非零向量，定义新运算：.
（1）若向量，求；
（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.
16. 已知函数，.
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值.
17. 已知向量，，且．
（1）求向量与的夹角．
（2）若向量与互相垂直，求k的值．
（3）若向量与互相平行，求k的值
18 已知向量，函数.
（1）求的最小正周期;
（2）求的单调减区间；
（3）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
19. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=

（1）试用，表示；
（2）若，求∠ARB余弦值
（3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
2024-2025学年度第二学期第一次质量检测
高一数学
（考试时间：120分钟试卷 满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 有4个式子：①；②；③；④；
其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④.
【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误；
由，所以，即③正确；
由，得不一定成立，故④错误.
故选C
【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型.
2. 已知为锐角，若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式化简可得，由同角三角函数的平方关系求出，再由两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为因为为锐角，所以，
所以.
故选：A.
3. 在平行四边形中，，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的线性运算，用表示
【详解】因为，则有，
所以.
故选：B．
4. 的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正切的差角公式逆用可得答案．
【详解】，
故选：B．
5. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
6. 在正方形中，与交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.
【详解】
建立平面直角坐标系，设正方形的棱长为，
因为，
则，，，，
所以，，
所以.
故选：C
7. 已知，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（ ）．
A. B. 5C. D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角的余弦公式转化为对任意的，恒成立．再构造函数，利用二次函数知识求出最大值即可得解.
【详解】由题意知，对任意，，即，即恒成立．
令，
当时，，，
实数的最小值为5．
故选：B．
8. 在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（ ）
A. 0B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设出，表达出，利用三角换元求出最小值.
【详解】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，则，且，故，
所以，
令，则，
则，
因为，所以，，
故，
所以的最小值为，当且仅当时取得.

故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A.
B. 是直角三角形
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 与垂直的单位向量的坐标为或
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.
【详解】因为，所以，A正确
因为，所以，
所以，即为直角三角形，B正确；
设与同向的单位向量为，，
所以在方向上的投影向量为，C错误；
因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，
故选：ABD．
10. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，的夹角为钝角，则且
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出的坐标，再逐项计算判断各个选项即得.
【详解】由点，，，得，
对于A，，A正确；
对于B，由，得，解得，B错误；
对于C，由，得，解得，C正确；
对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线，
即且，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 直线是的图象的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 函数在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出的解析式，再逐项判断得解.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，
由，得，又，则，，
对于A，，A正确；
对于B，由，得直线不是的图象的对称轴，B错误；
对于C，是奇函数，C正确；
对于D，当时，，而正弦函数上递减，
因此函数在上单调递减，D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量平行得到方程，求出，从而得到，利用模长公式求出答案.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以.
故答案：
13. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】因为， ，
所以.
14. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解.
【详解】设，其中，
已知边长为2的菱形中，，
则为等边三角形，又，
则
又，故
故．
故答案为：

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 对于任意两个非零向量，定义新运算：.
（1）若向量，求；
（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可.
（2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
由，
，
.
，
故与夹角的余弦值为.
16. 已知函数，.
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）;（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）化简函数，根据函数的性质可得最值；
（2）将代入化简后的函数解析式可得，化简，代入求解即可.
试题解析：（1） ，
当时，；
（2） ，，即 ，

.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，这是看函数名称之间的差异，从而确定要使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，这是分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
17. 已知向量，，且．
（1）求向量与的夹角．
（2）若向量与互相垂直，求k的值．
（3）若向量与互相平行，求k的值
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；
（2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
（3）由向量平行的判定定理即可求解.
【小问1详解】
由，得，设向量与夹角为，
由，，又，所以，
所以，解得，
所以向量与的夹角为．
【小问2详解】
由向量向量与互相垂直，得，
所以，即，
解得或．
【小问3详解】
因为向量与互相平行，
所以存在，使得=
所以解得：
18. 已知向量，函数.
（1）求的最小正周期;
（2）求的单调减区间；
（3）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式，从而得到结果；
（2）由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果；
（3）将函数零点转化为函数图像交点，再由正弦型函数的值域，即可得到结果.
【小问1详解】
，
的最小正周期.
【小问2详解】
令，，
解得，，
所以的单调减区间为
【小问3详解】
由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，
令，
做出的图像与直线，如图.
由图知，当时，的图像与直线有两个交点，
19. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=

（1）试用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值
（3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.
【小问1详解】
因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
【小问2详解】
由（1），，，
则，，.
则；
【小问3详解】
由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则