山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

枣庄三中2022~2023学年度高一年级第二学期月考

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分，考试用时120分钟。答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置。考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）

注意事项：

1．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，（    ）

A． B．    C．    D．

2．中，点M为边AC上的点，且，若，则λ－μ的值是（    ）

A．－1 B．1    C．    D．

3．若，则cos2α=（    ）

A． B．    C．    D．

4．已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．已知正方形ABCD的边长为a，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则a值为（    ）

A． B．    C．2    D．

6．在中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（    ）

A． B．   C．   D．

7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC上的点，且∠PBC=45°，则的值为（    ）

A． B．    C．   D．

8．将边长为4的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积与三棱锥的体积之比为（    ）

A．π B．24π     C．    D．9π

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知，下列结论正确的为（    ）

A． B．    C．    D．

10．已知平面向量，，则正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则在方向上的投影向量是（3，0）

C．与共线的单位向量是

D．若与的夹角为钝角，则x的取值范围为

11．如图所示，圆锥SO的底面半径，高SO=1，AB是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（    ）

A．圆锥SO的体积为π

B．圆锥SO的表面积为

C．的面积的最大值是

D．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为

12．已知是各条棱长均为1的正三棱柱，D是侧棱的中点，下列结论正确的是（    ）

A．AC与平面所成的角的正弦值为

B．平面与平面所成的角是60°

C．

D．平面平面

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知tanα，tanβ是方程两根，且，则等于______．

14．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是______cm．

15．已知函数，将的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若为偶函数，则函数在上的值域为______．

16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=2FA，若，则DF的长为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知复数，复数在复平面内对应的向量为，

（1）若为纯虚数，求a的值；

（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．

18．（12分）

如图，某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学研究性学习小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知，，．

（1）分别求AE、BH的长；

（2）求宣传牌CD的高度（结果保留根号）．

19．（12分）

如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E，F分别为BC，的中点．求证：

（1）；

（2）平面

20．（12分）

设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）设D，E分别为边AB，BC的中点，已知的周长为，且，若c<5a，求a．

21．（12分）

如图，在三棱台中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，∠ACF=∠BCF=90°，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，平面FGH．

（1）求证：点H为线段BC的中点；

（2）求三棱台的表面积；

（3）求二面角的正弦值．

22．（12分）

如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），，点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M（点M异于点O、B），记的面积为S．

（1）记，求的表达式；

（2）若θ=60°

①求的取值范围；

②设，记，求的最小值．

高一年级第二学期月考数学参考答案

一、单选题：1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D

二、多选题：9．CD   10．AC   11．AB   12．ACD

三、填空题：13．  14．3  15．  16．4

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解（1），

由为纯虚数得：，解得a=1．

（2），

在复平面内的对应点在第四象限，，解得．

18．解（1）由于所以BH∶AH=1∶3，

设BH=a，AH=3a，则，所以BH=2m，

在中，，所以AE=8m．

（2）过点B作，垂足为F．

则BH=EF=2，BF=AH+AE=6+8=14，又BF=CF=14，

所以

故宣传牌CD的高度为

19．（1）因为侧面是矩形，所以，

因为平面平面，

平面平面，BC在平面内，所以平面，

因为在平面内，所以；

（2）取的中点G，连结FG，CG，

在中，F，G分别是，的中点，所以，且

在矩形中，E是BC的中点，

所以，且，所以，且EC=FG，

所以四边形EFGC为平行四边形，所以，

又因为EF在平面外，GC在平面内，所以平面．

20．（1）由正弦定理得，，

∵A，B，C为的内角，∴A+B+C=π，

∴，∴．

∵，，∴，，

∴，，∴，即

（2）设BE=m，BD=n，则a=2m，c=2n，在中，由余弦定理，

得，

∵，∴，即，

整理得，；解得n=4m或n=6m，

∵c<5a，即n<5m，∴n=4m．又

∵的周长为，∴

解得，∴a=2m=1．

21．解（1）连接CD，设，连接HO、DG

∵平面FGH，平面CBD，平面平面FGH=HO，∴

∵四边形DFCG是正方形，O是CD的中点，∴点H是BC的中点．

（2）三棱台中

∵为等边三角形，∴为等边三角形，EF=DE=1．

上底面为等边三角形，其边长为1，面积为

下底面为等边三角形，其边长为2，面积为

侧面ADFC和侧面EFCB为直角梯形，面积为

侧面ADEB为等腰梯形，，面积为．

所以，三棱台的表面积为：．

（3）∵，，且，∴平面ABC，

∴平面平面ACDF，

过H作HM垂直于AC，交AC于M，则平面ACDF，作

HN垂直于GF于N，连接MN，则∠HNM即为二面角的平面角

，，，即二面角的正弦值为

22．解（1）：因为，；

所以．

（2）①设∠AOC=a，，则，

，，

又，则．

②设，则，因为，

所以，

所以，

因为，所以．即，

化简得，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为．