山东省枣庄市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省枣庄市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ）
A. 5.25B. 10.5C. 5.5D. 11
2. （ ）
A. 110B. 98C. 124D. 148
3. 某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ）
A. 10种B. 20种C. 30种D. 60种
4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C D.
5. 现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ）
A 12种B. 18种C. 24种D. 36种
6. 若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 可能是奇函数B. 在区间上单调递减
C. 当的极大值为17时，D. 当时，函数的值域是
10. 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种
11. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 极大值点仅有一个
C. 无最大值，有最小值
D. 当时，关于的方程共有3个实根
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_____
13. 设曲线在处的切线与直线垂直，则___________
14. 已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 计算下列各式．
（1）；
（2）
（3）解方程：解关于不等式；
16. 已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.
17. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）
（1）无重复数字的四位偶数；
（2）无重复数字且为5倍数的四位数；
（3）无重复数字且比1230大的四位数．
18. 已知函数，且满足
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19. 已知函数（常数）.
（1）求证：当时，；
（2）讨论函数的单调性；
（3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值.
2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷
202503
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ）
A. 5.25B. 10.5C. 5.5D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义，可得答案.
【详解】∵，∴．
故选：B
2. （ ）
A. 110B. 98C. 124D. 148
【答案】A
【解析】
【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解.
【详解】.
故选：A.
3. 某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ）
A. 10种B. 20种C. 30种D. 60种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果.
【详解】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告，
则有5种方法；
插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告，
共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告，
则有6种方法；
由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种.
故选：C
4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可.
【详解】由，得，
所以，得，所以，，
所以，切点为.
，
所以所求切线方程为，即.
故选：A
5. 现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ）
A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】根据捆绑法和插入法即可得到答案.
【详解】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．
由题意不同站法数为：．
故选：C
6. 若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可.
【详解】因为，
令，定义域为，则，
当时，，当 时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，
又，所以，
所以，即.
故选：D.
7. 已知函数是定义在上偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可.
【详解】令，则，
当时，，所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，
所以，所以是偶函数，在单调递减，
所以，，
即不等式等价为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为．
故选：D
8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解.
【详解】解：原不等式等价于，
设，则.
又，所以在上单调递增，
则，即.
设，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 可能是奇函数B. 在区间上单调递减
C. 当的极大值为17时，D. 当时，函数的值域是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由奇函数的定义可判断A，利用导数求出函数的单调性可判断BCD.
【详解】因为对，，显然当时，为奇函数，即A正确；
因为，则函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，所以，故C正确；
由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，故D错误.
故选:ABC.
10. 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种
【答案】ABC
【解析】
【分析】求得抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法数判断选项A；求得抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法数判断选项B、C；求得抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的方法数判断选项D.
【详解】选项A：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品.可先在不合格品中抽取1件，再在合格品中抽取2件，则方法数为种.判断正确；
选项B：抽出的3件中至少有1件是不合格品. 分为两种情况：
（1）先在不合格品中抽取1件，再在合格品中抽取2件，则方法数为种；
（2）先在不合格品中抽取2件，再在合格品中抽取1件，则方法数为种
则方法总数为种.判断正确；
选项C：抽出的3件中至少有1件是不合格品.可以使用排除法简化计算：从这100件产品中任意抽出3件，有种方法，其中抽出的3件中没有不合格品是不符合要求的，其方法数为.则抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法数为.判断正确；
选项D：抽出的3件产品中至多有1件是不合格品. 可以使用排除法简化计算：从这100件产品中任意抽出3件，有种方法，其中抽出的3件中有2件不合格品是不符合要求的，其方法数为.则抽出的3件中至多有1件是不合格品的方法数为种.判断错误.
故选：ABC
11. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 极大值点仅有一个
C. 无最大值，有最小值
D. 当时，关于的方程共有3个实根
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，故A错误；
对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，
当时，，则，此时函数单调递增，
当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，
综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确；
对于C选项，当时，，
当时，，
所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确；
对于D选项，如下图所示：

由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误.
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_____
【答案】21
【解析】
【分析】由组合数的性质建立方程解出的值，利用组合数的计算公式可得答案.
【详解】由，则或，解得或，
所以.
故答案为：21
13. 设曲线在处的切线与直线垂直，则___________
【答案】1
【解析】
【分析】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值.
【详解】直线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴切线的斜率，
，当时，，∴，
故答案为：1.
14. 已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】求导确定函数的单调性，从而可得的最小值，再根据复合函数的最值设则，由此可得的最值，从而可得有解，构造函数，，求导确定单调性得实数m的取值范围，即可得实数m的的最小值.
【详解】由题可得，，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
对于函数，设，则，
则当时，取得最小值，
所以有解，即有解.
令，，则，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，为.
因为有解，所以.
故m的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 计算下列各式．
（1）；
（2）
（3）解方程：解关于的不等式；
【答案】（1）
（2）30 （3）
【解析】
【分析】（1）根据排列数的计算公式求得正确答案.
（2）根据组合数的计算公式求得正确答案.
（3）根据排列数的计算公式求得正确答案.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
【小问3详解】
因为，则且，则且
所以，
即，解得或（舍去）
16. 已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）增区间为，减区间为.
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）求导，根据导数判断函数单调性即可得解.
【小问1详解】
当时，，
则，即，
又，
则切线方程为，即；
【小问2详解】
当时，，，
则，，
令，解得或（舍），
则
的增区间为，减区间为.
17. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）
（1）无重复数字的四位偶数；
（2）无重复数字且为5的倍数的四位数；
（3）无重复数字且比1230大的四位数．
【答案】（1）个
（2）个
（3）个
【解析】
【分析】（1）分个位数字为0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；
（2）分个位数字为0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；
（3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比1230大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解.
【小问1详解】
符合要求的四位偶数可分为两类．
第一类，0在个位时有个；
第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）．
【小问2详解】
符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个；
第二类：5在个位时有个．
故满足条件的四位数共有（个）．
【小问3详解】
符合要求的比1230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有个．
由分类加法计数原理知，
无重复数字且比1230大的四位数共有（个）．
18. 已知函数，且满足
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）函数在区间上的最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用求导公式结合求解即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可.
小问1详解】
因为，
所以，
令，即方程，
解得
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
令，即，
解得．
列表如下：
当时，单调递增：
当时，单调递减：
当时，单调递增．
所以有极大值；有极小值
又．
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
19. 已知函数（为常数）.
（1）求证：当时，；
（2）讨论函数的单调性；
（3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）答案见解析； （3）2.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用导数求出最小值即可证得不等式.
（2）求出导数，再分类讨论求出单调区间.
（3）等价转化不等式，构造函数并用导数求出最大值即可.
【小问1详解】
当时，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
【小问2详解】
函数的定义域为，求导得
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
【小问3详解】
不等式，
依题意，，恒成立，令，
求导得，当时，；当时，，
函数上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数最小整数值是.
极大值
2
3
+
0
-
0
+