山东省潍坊市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山东省潍坊市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷（原卷版+解析版），共14页。
1．本试题满分120分，考试时间为120分钟；
2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；
3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确）
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列判断正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 所有的无限小数都是无理数B. 带根号的数都是无理数
C. 是最小的无理数D. 数轴上的每一个点都表示唯一一个实数
6. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
A. 4＜m＜5B. 4≤m＜5C. 4＜m≤5D. 4≤m≤5
8. 如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（ ）
A. B. C. D. （
10. 在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
11. 若，则的平方根是__________．
12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________．
13. 若成立，则x的取值范围是__________．
14. 在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为__________．
15 阅读材料：
小华在学习分式运算时，发现：，，，…
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现：
；；
；……
如果小数部分为，那么整数部分为__________．
三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算
（1）
（2）
（3）
17. 解不等式（组），把它的解集表示在数轴上，并写出必要的文字步骤．
（1）解不等式；
（2）解不等式组．
18. （1）若，则用含a的代数式表示；
（2）若，求的值．
19. 如图，在四边形中，，，，，点E是的中点，且，连接．
（1）判断的形状并证明；
（2）求四边形的面积．
20. 用两种方法比较与大小．
21. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元．
（1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？
（3）在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？
22. 小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称．
小莹：我们问问Deepseek吧！
Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则．
请阅读上述材料解决下列问题：
（1）解方程；
（2）请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C从原点沿y轴正半轴以每秒1个度运动，运动时间为t．

（1）请在平面直角坐标系中画出点A、点B并求出线段的长度；
（2）当时，求点C到线段的距离；
（3）当点C运动到某一位置时，为等腰三角形，请画出此时点C的位置并直接写出t的值．
八年级数学试题
（时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．本试题满分120分，考试时间为120分钟；
2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；
3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确）
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的判断，二次根式的性质化简，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根和立方根，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的性质、算术平方根和立方根化简各数即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数．
【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为，
∴点A处所表示的数为．
故选：B．
4. 下列判断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：A．若，则，故原判断错误；
B．若，当，时，，故原判断错误；
C．若，且，则，故原判断错误；
D．若，则，故原判断正确；
故选：D．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 所有的无限小数都是无理数B. 带根号的数都是无理数
C. 是最小的无理数D. 数轴上的每一个点都表示唯一一个实数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数，无理数，绝对值，实数与数轴．根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，绝对值，实数与数轴依次进行判断即可得．
【详解】解：A、所有的无限不循环小数都是无理数，本选项不符合题意；
B、带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，本选项不符合题意；
C、没有最小的无理数，本选项不符合题意；
D、数轴上的每一个点都表示唯一一个实数，本选项符合题意；
故选：D．
6. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可．
【详解】设一个球的体积为，根据题意，得
，
解得，
观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是．
故选：C．
7. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是（ ）
A. 4＜m＜5B. 4≤m＜5C. 4＜m≤5D. 4≤m≤5
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：x＜m，
解不等式②得：x≥2，
则不等式组的解集是：2≤x＜m．
不等式组有3个整数解，则整数解是2，3，4．
则4＜m≤5．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式组．
8. 如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子．
【详解】解：大正方形面积是36， x、y表示直角三角形的两条直角边，
，B选项式子正确，不符合题意；
小正方形的面积是4，
，A选项式子正确，不符合题意；
大正方形的面积是36，小正方形的面积是4，
四个全等的直角三角形的面积和为，
，
，D选项式子正确，不符合题意；
，
，C选项式子错误，符合题意；
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（ ）
A. B. C. D. （
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键．
【详解】∵，轴，，
∴四边形是矩形，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴由轴对称变换可知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的对角线是边长的倍，确定镶嵌中的两个顶点在小正方形的内部时m值最大是解题的关键，作出图形更形象直观．
根据公共部分的定义，让小正方形的对角线与9个小正方镶嵌的图形中的边上，且使两个顶点在小正方形内部即可得到m的最大值．
【详解】解：如图所示，小正方形与9个小正方形有“公共部分”是的m的值最大，为6．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
11. 若，则的平方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵点位于第三象限，
∴
∴
故答案为：
13. 若成立，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，．根据二次根式的性质得出求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵成立，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理．分当Q在射线上和当Q在射线上两种情况利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，当Q在射线上时，
∵，，，
∴，
∴；
如图所示，当Q在射线上时，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
15. 阅读材料：
小华在学习分式运算时，发现：，，，…
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现：
；；
；……
如果的小数部分为，那么整数部分为__________．
【答案】19
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．由二次根式的运算规律，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可．
【详解】解：∵；
；
；
……，
∴，
∴
，
∵结果的小数部分，即，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
∴结果的整数部分为19．
故答案为：19．
三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）2 （3）33
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是：
（1）先根据二次根式性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的乘法、除法法则以及二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，然后根据平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
．
17. 解不等式（组），把它的解集表示在数轴上，并写出必要的文字步骤．
（1）解不等式；
（2）解不等式组．
【答案】（1），数轴见解析
（2）无解，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，数轴表示解集，以及整数解的问题，正确计算是解题的关键．
（1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，再在数轴表示解集；
（2）分别求每一个不等式的解集，再取公共部分即可，再在数轴表示解集．
【小问1详解】
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
在数轴上表示为：
【小问2详解】
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组无解，
在数轴上表示为：
．
18. （1）若，则用含a的代数式表示；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的乘法运算求解即可；
（2）根据二次根式的乘法运算和完全平方公式求解即可．
【详解】解：
；
（2），
，
，
．
19. 如图，在四边形中，，，，，点E是的中点，且，连接．
（1）判断的形状并证明；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）是直角三角形，证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．
（1）由题意可知垂直平分，得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）由勾股定理求出，进而得出，再求出，即可得到四边形的面积．
【小问1详解】
解：是直角三角形，证明如下：
，点E是的中点，
垂直平分，
，
，，
，
，即是直角三角形；
【小问2详解】
解：，，，
，
点E是的中点，
，
，
，
四边形的面积．
20. 用两种方法比较与的大小．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的混合运算，无理数的大小估算，完全平方公式，不等式的性质等知识，掌握实数大小比较的常见方法是解题关键．方法一：利用平方法比较大小；方法二，利用作差法和平方差结合比较大小．
【详解】解：方法一：，，
，
，
，
；
方法二：，
，
，
，
，
21. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元．
（1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？
（3）在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？
【答案】（1）购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元；
（2）最多购进“哪吒”纪念品件；
（3）该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键．
（1）设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元，根据“购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元”列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进“哪吒”纪念品件，根据“用不超过3100元的资金购进纪念品”列不等式求解即可；
（3）根据题意列不等式，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元，
则，解得：，
答：购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元；
【小问2详解】
解：设购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件，
则，
解得：，
是正整数，
最多购进“哪吒”纪念品件；
【小问3详解】
解：根据题意得：，
解得：，
由（2）可知，，
的取值为68、69、70，
则该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件．
22. 小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称．
小莹：我们问问Deepseek吧！
Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则．
请阅读上述材料解决下列问题：
（1）解方程；
（2）请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本考查了解无理方程等知识，解题的关键是：
（1）仿照材料求解即可；
（2）根据解分式方程，无理方程，二元一次方程组，解一元一次方程等知识解答即可．
【小问1详解】
解：两边平方，得，
化简，得，
∴，
经检验，是原方程的增根，故不是方程的解；是原方程的解，
∴原方程的解为；
【小问2详解】
解：①解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元；
②解分式方程方法是通过去分母等方法转化为整式方程，注意要检验；
③解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，注意要检验．（答案不唯一）
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C从原点沿y轴正半轴以每秒1个度运动，运动时间为t．

（1）请在平面直角坐标系中画出点A、点B并求出线段的长度；
（2）当时，求点C到线段的距离；
（3）当点C运动到某一位置时，为等腰三角形，请画出此时点C的位置并直接写出t的值．
【答案】（1）见解析，；
（2）
（3）见解析，为等腰三角形时，t的值为或或或．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．
（1）根据坐标画出点A、点B，再根据坐标两点的距离公式求出的长度即可；
（2）先利用割补法求出的面积，。再根据三角形面积公式求出边上的高，即可得解；
（3）根据题意可知，由等腰三角形的定义分三种情况求解：①当时；②当时；③当时，利用勾股定理分别求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点A、点B为所求作；
；
【小问2详解】
解：当时，，
由图形可知，，
设边上的高为，
则，
，即点C到线段的距离；
【小问3详解】
解：点C从原点沿y轴正半轴以每秒1个度运动，运动时间为t，
，
①当时，点如图所示，

，，
，
解得：；
②当时，点如图所示，

，，
，
解得：（负值舍去）；
③当时，点如图所示，

，，
，
解得：，，
综上可知，为等腰三角形时，t的值为或或或．