2024-2025学年山东省实验中学高一（下）段考数学试卷（3月份）

这是一份2024-2025学年山东省实验中学高一（下）段考数学试卷（3月份），共38页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在复平面内，复数z满足z•（1﹣i）＝2i，则复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）如图，四边形ABCD中，＝，则必有（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．（5分）已知，与同向的单位向量为，＝4，，的夹角为120°，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．4B．C．D．
4．（5分）已知和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为（ ）
A．B．1C．D．﹣1
5．（5分）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6B．，b＝2，A＝45°
C．a＝10，A＝45°，B＝70°D．a＝3，b＝2，A＝60°
6．（5分）已知向量，满足||＝2||＝2，且|2﹣|＝，则|﹣|＝（ ）
A．1B．2C．D．
7．（5分）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么2（x+y）的最大值是（ ）
A．2B．C．4D．
8．（5分）在锐角△ABC中，若b2+c2＝2a2，则csA的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知向量＝（，﹣1），＝（2，0），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与的夹角为
C．若，则
D．存在，使得
（多选）10．（6分）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形ABCDE为正五边形，≈0.616）．则（ ）
A．B．
C．D．
（多选）11．（6分）已知三角形ABC满足AB＝3，AC＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O为△ABC的重心，则
B．若点O为△ABC的外心，则
C．若点O为△ABC的垂心，则
D．若点O为△ABC的内心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝b＝1，c＝，则△ABC的外接圆面积为 ．
13．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝6，，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ＝4，则的最大值为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，点M是边AB的中点，且，直线CM与BN相交于点P，则＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数z1＝1+i，z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣3m+2）i（m∈R）．
（1）当m取何值时，z为纯虚数？
（2）当m＝3时，求|z•z1|的值．
16．（15分）已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求csθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
17．（15分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且．
（1）求；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（17分）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M为AB上靠近A的三等分点，OM交AC于N，D为线段BC上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求λ•μ的取值范围．
19．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且，点P为△ABC的费马点．
（1）求角B；
（2）若b2﹣（a﹣c）2＝6，求的值；
（3）若b＝1，求|PA|+|PC|﹣|PB|的取值范围．
2025学年山东省实验中学高一（下）段考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）在复平面内，复数z满足z•（1﹣i）＝2i，则复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数对应复平面中的点．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解．
【解答】解：由z•（1﹣i）＝2i，
得z＝，
故复数z在复平面内对应的点为（﹣1，1），位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）如图，四边形ABCD中，＝，则必有（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【考点】平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【答案】D
【分析】根据＝，得出四边形ABCD是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【解答】解：四边形ABCD中，＝，
∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴＝﹣，A错误；
＝﹣，B错误；
≠，C错误；
＝，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行向量与相等向量、相反向量之间的关系与应用问题，是基础题目．
3．（5分）已知，与同向的单位向量为，＝4，，的夹角为120°，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．4B．C．D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的定义及向量投影概念计算即可．
【解答】解：由题意知＝8•4•cs120°＝﹣16，
又因为与同向的单位向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为＝＝＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
4．（5分）已知和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为（ ）
A．B．1C．D．﹣1
【考点】平面向量的相等与共线．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解．
【解答】解：因为，
且A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得，即，
则，解得m＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三点共线与向量共线的转化，还考查 向量共线定理的应用，属于基础题．
5．（5分）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6B．，b＝2，A＝45°
C．a＝10，A＝45°，B＝70°D．a＝3，b＝2，A＝60°
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角形的性质即可逐项判断三角形的个数．
【解答】解：A．由a＝4，b＝5，c＝6，满足两边之和大于第三边，
由余弦定理可得：＝，
则C为锐角，可得三角形只有一解，故A错误；
B．由，b＝2，A＝45°，可得b＞a＞bsinA，则三角形有两解，故B正确；
C．由a＝10，A＝45°，B＝70°，可得C＝180°﹣45°﹣70°＝65°，则三角形有一解，故C错误；
D．由a＝3，b＝2，A＝60°，可得a＞b，则A＞B，B为锐角，可得三角形只有一解，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查三角形个数的判断，属于中档题．
6．（5分）已知向量，满足||＝2||＝2，且|2﹣|＝，则|﹣|＝（ ）
A．1B．2C．D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
【解答】解：已知向量，满足||＝2||＝2，且|2﹣|＝，
则，
即，
则|﹣|＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
7．（5分）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么2（x+y）的最大值是（ ）
A．2B．C．4D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由平面向量基本定理及三角恒等变换计算可求得结论．
【解答】解：以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设扇形AOB的半径为r，则A（r，0），，
设点，
因为，
所以，即，
则，
因为，则，
当且a＝r时，2（x+y）取得最大值4．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题．
8．（5分）在锐角△ABC中，若b2+c2＝2a2，则csA的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意及余弦定理可得csA的范围，再由锐角三角形可得csA的范围．
【解答】解：因为b2+c2＝2a2，由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccsA，
所以a2＝2bccsA，
即csA＝＝≥＝，
当且仅当b＝c时取等号，
又在因为锐角三角形中，可得csA∈[，1）．
故选：C．
【点评】本题考查余弦定理的应用及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知向量＝（，﹣1），＝（2，0），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与的夹角为
C．若，则
D．存在，使得
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对于A，由向量模长坐标计算公式可得答案；
对于B，由向量夹角计算公式可得答案；
对于C，由向量垂直坐标表示可得答案；
对于D，由向量垂直定义可得答案．
【解答】解：对于A，由题可知，
故A项正确；
对于B，，
则＝＝，
又，
故与的夹角为，
故B项错误；
对于C，若，
则，
故C项正确；
对于D，若，
则，
又，
则当时，可以使，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
（多选）10．（6分）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形ABCDE为正五边形，≈0.616）．则（ ）
A．B．
C．D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据正五角星的性质，利用向量相等的定义与向量的线性运算法则，对各项的结论逐一加以验证，可得所求答案．
【解答】解：对于A，由于＝，结合，可知＝，故A项正确；
对于B，由于，所以＝＝＝，故B项不正确；
对于C，由于，所以＝＝，结合、方向相反，可知≠，故C项不正确；
对于D，由于，所以＝＝，
结合＝，可得＝＝，所以＝，故D项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查平面向量的定义与线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知三角形ABC满足AB＝3，AC＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O为△ABC的重心，则
B．若点O为△ABC的外心，则
C．若点O为△ABC的垂心，则
D．若点O为△ABC的内心，则
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理；正弦定理．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】用向量表示三角形的四心，结合图象即可求解．
【解答】解：选项A：如图，点O为△ABC的重心时，
，故A错误；
选项B：若点O为△ABC的外心，如图，OD为线段AC的垂直平分线，
则，
同理，，故B正确；
选项C：当时，则B为△ABC的垂心，B，O重合，此时，故C错误；
选项D：若点O为△ABC的内心，O在∠BAC的平分线上，
则，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了平面向量的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝b＝1，c＝，则△ABC的外接圆面积为 π ．
【考点】利用正弦定理解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】π．
【分析】根据a＝b，由等腰三角形的性质得到A＝B，所以C＝π﹣2A．然后运用正弦定理算出sinC＝sinA，结合诱导公式与二倍角公式算出A＝，进而求出△ABC的外接圆半径R，可得外接圆的面积．
【解答】解：在△ABC中，由a＝b＝1，可得A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣2A，
由c＝＝，结合正弦定理得sinC＝sinA，
所以sin（π﹣2A）＝sinA，即sin2A＝sinA，可得2sinAcsA＝sinA．
因为△ABC中，A∈（0，π），
所以sinA＞0，可得2csA＝，即csA＝，可得A＝，
根据正弦定理，可得△ABC的外接圆半径2R＝＝＝2，
所以R＝1，可得△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π．
故答案为：π．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式与二倍角公式、正弦定理及其应用，属于基础题．
13．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝6，，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ＝4，则的最大值为 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，取PQ中点M，连接AM，由与，求出的表达式，进而算出所求最大值．
【解答】解：如图，取PQ中点M，连接AM，
由，且，
两式相减得：＝，
要使最大，则最小，
结合点P、Q在线段BC上，观察图象可知：当P与B重合时，达到最小值，
此时＝AB＝2，BM＝PM＝2，＝AB2+BM2﹣2AB•BMcs＝，
因此，的最大值为4﹣（）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的线性运算法则、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，点M是边AB的中点，且，直线CM与BN相交于点P，则＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】以向量，为基底，表示出向量，，计算数量积即可求解．
【解答】解：如图可知，，
∵M是AB中点，∴，
∵，∴，
设，则，
，则，
∵，∴，
∴，
∵与不共线，∴，解得，
∴，，
∴．
∴
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算及数量积运算，考查了数形结合思想，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数z1＝1+i，z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣3m+2）i（m∈R）．
（1）当m取何值时，z为纯虚数？
（2）当m＝3时，求|z•z1|的值．
【考点】纯虚数；复数的模．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）m＝﹣3；（2）．
【分析】（1）由复数的概念列出关于m的关系式即可求得；
（2）由复数的四则运算法则求出z•z1，再由复数的模的概念即可求出．
【解答】解：（1）∵z为纯虚数，∴，∴m＝﹣3．
（2）当m＝3时，z＝6+2i，
∴z•z1＝（6+2i）（1+i）＝4+8i，
∴．
【点评】本题考查复数的概念及四则运算，还考查了计算能力，属基础题．
16．（15分）已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求csθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
【考点】平面向量加减法的坐标运算；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣8，5）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）直接利用坐标的乘法和加法运算求解即可；
（2）利用向量夹角的坐标公式求解即可；
（3）利用向量垂直的坐标运算列式求解即可．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）的夹角为θ，
则；
（3）向量与互相垂直，
则，
又，，
则5﹣10k2＝0，
解得k＝±．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，考查转化能力，属于基础题．
17．（15分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且．
（1）求；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）10．
【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得到，然后利用两角和的正弦公式与诱导公式，算出sinC＝2sinA，进而可得的值；
（2）根据三角形面积公式算出ab＝8，结合（1）的结论利用余弦定理建立关于a的方程，进而算出b、c，可得△ABC的周长．
【解答】解：（1）根据，由正弦定理得，
整理得sinBcsA+csBsinA＝2sinA，即sin（B+A）＝2sinA，
因为△ABC中，sin（B+A）＝sin（π﹣C）＝sinC，
所以sinC＝2sinA，结合正弦定理得＝＝；
（2）由，C∈（0，π），得sinC＝＝，
所以，即ab＝，解得ab＝8，
由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcsC，可得，
整理得3a4+4a2﹣64＝0，解得a2＝4（舍负），所以a＝2．
所以b＝＝4，c＝2a＝4，可得△ABC的周长为a+b+c＝10．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式等知识，属于中档题．
18．（17分）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M为AB上靠近A的三等分点，OM交AC于N，D为线段BC上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求λ•μ的取值范围．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可；
（2）设，利用向量的共线求出t即可得解；
（3）令，利用向量基本定理可得λ，μ的关系，转化为关于μ的二次函数求最值即可得解．
【解答】解：（1）依题意，
∴，
∴；
（2）因OM交AC于N，由（1）知，
因为N，A，C共线，所以，则，
所以，所以，即＝6；
（3）因D是线段BC上动点，则令，
，
由已知，
又不共线，则有，得，
因为，
所以，且在上递增，
所以，故λ•μ的取值范围是．
【点评】本题主要考查向量基本定理，属于中档题．
19．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且，点P为△ABC的费马点．
（1）求角B；
（2）若b2﹣（a﹣c）2＝6，求的值；
（3）若b＝1，求|PA|+|PC|﹣|PB|的取值范围．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）B＝60°；（2）﹣3；（3）．
【分析】（1）根据三角恒等变换及同角三角函数的关系求解；
（2）根据余弦定理以及等面积法可得xy+yz+xz＝aw＝6，即可根据数量积的定义求解，
（3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得x2+y2+z2＝1，进而根据三角形相似可得y2＝zx，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解．
【解答】解（1）∵，
∴，
∴，
∴，
又sinC＞0，∴，
.∴，B是三角形ABC内角，∴B＝60°，
（2）∵B＝60°，∴，
∴a2+c2﹣b2＝ac，又b2﹣（a﹣c）2＝b2﹣（a2+c2）+2ac＝6，∴ac＝6，
设，
∵B＝60°，∴三角形ABC的三个角均小于120°，
∴根据题意可得∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
又S△ApB+S△BPC+S△APC＝S△ABC，
∴，
∴xy+yz+xz＝ac＝6，
∴＝＝．
（3）由S△APB+S△BPC+S△APC＝S△ABC，
∴，
∴xy+yz+xz＝ac，
由余弦定理可得b2＝x2+z2﹣2xzcs120°＝x2+z2+xz①，
同理可得c2＝x2+y2+xy②，a2＝z2+y2+yz③，
①②③相加得a2+b2+c2＝2x2+2y2+2z2+xy+xz+yz＝2x2+2y2+2z2+ac，
又a2+c2﹣b2＝ac，b＝1，所以x2+y2+z2＝1，
∵B＝60°，∠APB＝120°，∴∠ABP+∠CBP＝60°，∠ABP+∠BAP＝60°，
所以∠BAP＝∠CBP，又∠APB＝∠BPC＝120°，
故△ABP∽△BCP，所以，
故x2+xz+z2＝1，即（x+z）2﹣xz＝1，
∴，
∴，当且仅当x＝z时等号成立，
又x+z＞b＝1，所以，
∴，
令x+z＝t，则，所以，
由于函数均为上的单调递增函数．
∴为上的单调递增函数，
∴，进而．
即|PA|+|PC|﹣|PB|的取值范围是．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了向量的数量积运算，考查了转化思想及函数思想，属于中档题．
考点卡片
1．平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
2．平面向量的相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
3．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
4．平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
5．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
6．用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
【命题方向】
﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．
﹣基底下的计算：如何在给定的基底下进行向量运算．
在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且＝，＝，试用基底，表示，，．
解：在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且＝，＝，
由题意得＝，＝，＝，
故＝（），即＝+＝，
同理，﹣＝（），＝（），
所以＝（），＝+，
因为＝，＝，
整理得，＝，＝．
7．平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．
﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．
【命题方向】
﹣向量运算的实际应用：考查向量加减法在实际问题中的应用，如几何问题中的位置计算．
﹣坐标运算技巧：如何高效进行向量的坐标运算．
向量满足，则＝_____．
解：由＝（﹣1，5），＝（5，﹣3），
得2＝（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，2），
所以＝（﹣6，2）＝（﹣3，1）．
8．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
9．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
10．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
11．利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
【命题方向】
﹣正弦定理的应用：考查如何应用正弦定理解决涉及三角形的几何问题．
﹣三角形解的存在性：如何使用正弦定理判断三角形的解的存在性和唯一性．
△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b＝_____．
解：∵△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，
∴由正弦定理得，，
∴，
解得b＝3．
12．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
13．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
14．纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
【命题方向】
纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．
15．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．
16．复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
【命题方向】
﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．
﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．
17．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
B
B
C
C
题号
9
10
11
答案
ACD
AD
BD
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝