山东省济南市济南高新区第一实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省济南市济南高新区第一实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了 若，则下列不等式中不正确的是， 多项式的公因式是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”、“中国七巧板”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列从左到右是因式分解且正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 多项式的公因式是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为( )
A. B. C. D.
6. 如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于( )
A. 5°B. 10°C. 15°D. 20°
7. 瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是元，定价为元，今天是店庆，可以打折优惠，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（ ）
A. 折B. 折C. 折D. 折
8. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，，若将线段平移至线段，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
9. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）

A B. C. D.
10. 如图，点为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二．填空题（共6小题）
11. 分解因式：______．
12. 如图，已知函数和的图像交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是________．
13. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为______．

14. 如图，在中，将绕点逆时针方向旋转得到，交于点E，则________．

15. 若不等式组的解集是，则m的取值范围是_________．
16. 如图，在中，，，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，则的最小值为______．
三．解答题（共8小题）
17. （1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18. 如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形．
19 因式分解
（1）．
（2）．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是．

（1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点为点C，画出平移后对应的；
（2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得值最小，请直接写出点P的坐标．
21. 2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品．
（1）当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元．
（2）顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
（3）B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围
22. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
23. 阅读理解：
例1．解方程，因为在数轴上到原点距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为________
（2）解不等式：．
（3）解不等式：．
24. 如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
（1）求的长；
（2）若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
25. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解；
应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
26. （1）阅读理解
如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌ ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为 ；
（2）类比探究
如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；
（3）拓展应用
如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．

济南高新区第一实验学校2024-2025学年第二学期
八年级数学阶段性检测试题
一．选择题（共10小题）
1. 我国古代数学许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”、“中国七巧板”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2. 下列从左到右是因式分解且正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，公式法、提公因式法进行因式分解．根据因式分解的定义以及因式分解的方法进行判断即可．
【详解】解：A中，错误，故不符合要求；
B中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
C中，正确，故符合要求
D中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
故选：C．
3. 若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由可得，原式正确，不符合题意；
B、由可得，原式正确，不符合题意；
C、由可得，原式错误，符合题意；
D、由可得，原式正确，不符合题意；
故选：C．
4. 多项式的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了公因式．确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可．
【详解】解：多项式的公因式是，
故选：D．
5. 如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得出,再进行等量代换后计算即可.
【详解】∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
∵，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键.
6. 如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于( )
A. 5°B. 10°C. 15°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，∠CED=∠B=55°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
由三角形的外角性质得，∠ADE=∠CED-∠CAD=55°-45°=10°．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题关键是熟记各性质并准确识图．
7. 瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是元，定价为元，今天是店庆，可以打折优惠，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（ ）
A. 折B. 折C. 折D. 折
【答案】C
【解析】
【分析】设该玩具打折销售，利用利润售价进价，结合利润率不能低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设该玩具打折销售，
根据题意：，
解得：
该玩具最多可以打折，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，，若将线段平移至线段，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴是点A向右平移个单位得到；
∵，，
∴点是点B向下平移个单位得到；
∴线段是线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，
故，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键．
9. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的平移，坐标规律．根据平移方式先求得，，，的坐标，找到规律求得的横坐标，进而求得的横坐标．
【详解】解：点的横坐标为，
点的横坐为标，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
…
按这个规律平移得到点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故选：B．
10. 如图，点为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．连接，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，，则把逆时针旋转后，与重合，与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③进行判断；由于，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对④进行判断．
【详解】解：①连接，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，所以①正确；
②为等边三角形，
，，
把逆时针旋转后，与重合，与重合，
绕点顺时针旋转会和重合，所以②正确；
③由②可知；，
，
在中，
，
，
为直角三角形，
，
即，所以③正确；
④，所以④正确．
综上，①②③④都是正确的，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．运用提公因式和公式法可以得解．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 如图，已知函数和的图像交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】由图象观察可得答案．
【详解】解：由图象可知，在P点右侧，的图象在的图象上方，
故不等式的解集是x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是熟练的运用数形结合思想，直观的得到答案．
13. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条“之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个矩形是解决本题的关键．把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【详解】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，

道路的宽为2米，，，
，，
矩形的面积为：，即绿化的面积为．
故答案为：．
14. 如图，在中，将绕点逆时针方向旋转得到，交于点E，则________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，再解直角三角形，求出,，即可解答．
【详解】解：绕点逆时针方向旋转得到，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的判定及性质，解含有角的直角三角形，熟练解含有角的直角三角形是解题的关键．
15. 若不等式组的解集是，则m的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解：，
解不等式①得：
∵不等式组的解集是，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16. 如图，在中，，，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点．作，设的长为，分别用含的代数式表示出，的长，然后利用“两点之间，线段最短”可知，的最小值，进而即可得到答案．
【详解】解：作，设的长为，作，
将点绕点顺时针旋转得到点，
，，
，
，，，
，，
，
，
将它们表示在平面直角坐标系上，如图2，
利用“两点之间，线段最短”可知，的最小值即为的长，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17. （1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】（1），数轴见解析；（2），整数解为，，，
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
详解】解：（1），
，
，
，
则，
解集表示在数轴上如下：
（2）由得：，
由得：，
所以不等式组的解集为，其整数解为，，，．
18. 如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，以及等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，即可解答．
【详解】证明：，，
，
，，
，
，，
，
为等边三角形．
19 因式分解
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用提公因式法进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是．

（1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点为点C，画出平移后对应的；
（2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）旋转中心坐标
（3）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转中心旋转的对应点的位置，然后与点C顺次连接即可；再根据网格结构找出点B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转中心，然后写出坐标即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点的位置，然后连接与x轴的交点即为点P．
【小问1详解】
解：如下图所示：，即为所求；
【小问2详解】
连接，直线与直线相交，交点即为所求，
设直线的解析式为，将点代入得，
，
，
直线为，
，
，
交点坐标为，
旋转中心坐标；
【小问3详解】
作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求点，
，
，
设直线的解析式为，将点，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
．
【点睛】本题考查了旋转、平移以及一次函数的应用，熟练掌握旋转和平移性质是解题关键．
21. 2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品．
（1）当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元．
（2）顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
（3）B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围
【答案】（1）元，元
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据A、B两商店的优惠方案进行解答即可；
（2）列出在A、B两商店的花费列出的不等式，分情况讨论，求出顾客到哪家商店购物花费更少；
（3）当时，由题意列出一元一次不等式，可求解．
【小问1详解】
解：在A商店购买的优惠价（元），
在B商店购买的优惠价（元）
故答案为：，，
【小问2详解】
解：在A商店购买的优惠价（元），
在B商店购买的优惠价（元），
当顾客在A商店购物花费少时，，
解得：；
②当顾客在B商店购物花费少时，则，
解得：；
③当顾客在A，B商场购物花费相等时，则，
解得：；
∴当时，顾客在A商店购物花费少，
当时，顾客在A，B商店购物花费相等，
当时，顾客在B商店购物花费少．
【小问3详解】
解：当时，
由题意可得：，
解得：，
∴当时，顾客在B商店购物花费少，
又∵当时，顾客在B商店购物花费少，
综上所述，顾客选择B商场购物花费少时x的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想．
22. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD长．
【答案】（1）AC⊥BD，证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC．故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论．
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
【详解】解：（1）AC⊥BD．证明如下：
∵△DCE由△ABC平移而成，
∴△DCE≌△ABC．
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°．
∴∠DBC=∠BDC=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD⊥DE，
∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE．
∴BD⊥AC．
（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，
∴．
23. 阅读理解：
例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为________
（2）解不等式：．
（3）解不等式：．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可；
（2）先求出的解，再求的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【小问1详解】
解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5，
∴方程的解为：或，
故答案为：或．
【小问2详解】
解：在数轴上找出的解，如图：

∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程的解为或，
∴不等式的解集为．
【小问3详解】
解：在数轴上找出的解，
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值，
∵在数轴上4和对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边，
若x对应的点在4的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
24. 如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
（1）求的长；
（2）若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）满足条件的P点坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）先求出直线与两轴交点坐标，，再由垂直平分线性质得，设，由勾股定理得，则，解得：，所以，即可求解；
（2）点，则；根据，则，求解即可；
（3）分三种情况∶①当B为顶点，时，②当C为顶点，时，③当P为顶点，时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：令时，则；令，则；
所以直线与两轴交点分别为，．
∵垂直平分；
∴．
设，在中，根据勾股定理得：，
则 解得：；
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设点，则；
∵D为的中点；
∴；
A、E在x轴上，， ；
∴，
∴，
解得：或18．
∴点E坐标为：或．
【小问3详解】
解：P在y轴上，设．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：
①当B为顶点，时，由（1）得；
∴，解得：或9．
∴或，
②当C为顶点，时，
又∵，，
∴．
∴，即．
∴
③当P为顶点，时，
在中，根据勾股定理得：
，即：．
解得：．
综上：满足条件的P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点，一次函数图象与性质，直线围成的三角形面积，勾股定理，等腰三角形判定与性质，坐标与图形，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．
25. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】（1）
（2）
（3），9
【解析】
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
26. （1）阅读理解
如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌ ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为 ；
（2）类比探究
如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；
（3）拓展应用
如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．

【答案】（1）AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝；（3）BD＝2或2
【解析】
【分析】（1）证明△AGF≌△AEF（SAS），则GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即可求解；
（2）证明△AFD≌△AED（SAS），则FD＝DE，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，则BH＝BF＝1，FH＝BFsin60°＝2×＝，则,即可求解；
（3）①当DE＝AD时，△ADE≌△ADF（SAS），在△ABC中，AB＝AC＝，∠HAC＝30°，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+x）2+（x）2，求出BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝，由AB2+AE2＝BE2，求出a＝2，即可求解；②当DE＝AE时，BD对应①中的CE，即可求解．
【详解】解：（1）由图象的旋转知，AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，
∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠DAE+∠BAF＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF＝EF，
即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，
即EF＝DE+BF，
故答案为：AGF，EF＝DE+BF；
（2）将△AEC围绕点A旋转到△AFB的位置，连接FD，
由（1）知，△AFB≌△AEC（SAS），则AF＝AE，FB＝EC＝2，
∵∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝∠DAE，
∵AD＝AD，AF＝AE，
∴△AFD≌△AED（SAS），
∴FD＝DE，∠ABF＝∠C＝60°，
在△BDF中，BD＝1，BF＝2，∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝60°+60°＝120°，
过点F作FH⊥BD交DB的延长线于点H，则∠FBH＝60°，
在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，则BH＝BF＝1，FH＝BFsin60°＝2×＝，
则
故DE＝；

（3）①当DE＝AD时，则∠DAE＝∠DEA＝75°，则∠ADE＝180°﹣2×75°＝30°，
在等腰△ABC中，∠BAC＝150°，则∠ABC＝∠ACB＝15°，
将△AEC围绕点A旋转到△AFB所在的位置（点F对应点E），连接DF，
由（2）同理可得：△ADE≌△ADF（SAS），
∴DF＝DE，
∵∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝15°+∠BAD＝30°，故∠BAD＝15°＝∠ABD，
∴AD＝BD＝ED，
设BD＝a，则AD＝BD＝ED＝a，则BE＝2a，
过点C作CH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠HAC＝2∠ABC＝30°，
在△ABC中，AB＝AC＝，∠HAC＝30°，
设AC＝x，则CH＝x，AH＝x，
由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+x）2+（x）2，
将x＝代入上式并解得：BC＝4+2；
在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，
同理可得：AE＝，
∵∠ABE＝15°，∠AEB＝75°，故∠BAE＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（）2+（）2＝（2a）2，
解得a＝±2（舍去负值），故a＝2，
则BD＝2，
CE＝BC﹣2a＝4+2﹣4＝2；
②当DE＝AE时，
BD对应①中的CE，
故BD＝2；
综上，BD＝2或2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.